Question

Có bao nhiêu cặp số nguyên `(x;y)` với ` 1 <= x <= 2022` và thỏa mãn điều kiện 

\(x\left(2^y+y-1\right)=2-xlog_2x\)

Answer 1

Đặt \(log_2x=z\ge0\Rightarrow x=2^z\)

\(\Rightarrow2^z\left(2^y+y-1\right)=2-z.2^z\)

\(\Leftrightarrow2^y+y-1=2^{1-z}-z\)

\(\Leftrightarrow2^y+y=2^{1-z}+\left(1-z\right)\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=2^t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=2^t.ln2+1>0;\forall t\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến 

\(\Rightarrow y=1-z\)

\(\Rightarrow y=log_2x\) \(\Rightarrow x=2^y\)

\(\Rightarrow1\le2^y\le2022\Rightarrow0\le y\le10\)

Có 11 cặp thỏa mãn