Question

CMR:

\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\) với \(a>0;b>0;a\ne b\)

Answer 1

Mình sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé :)

Ta có : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}< \frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}< \frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}>0\) (luôn đúng)

Vì \(a\ne b\) nên đẳng thức không xảy ra.

Vậy ta có đpcm.

Answer 2

@Hoàng Lê Bảo Ngọc