Question

Chứng minh bđt Cô-si với 3 số ko âm a,b,c:

(a+b+c)/3 \(\ge\)³(căn abc)

dùng nhiều rồi mà ko biết cm sao , m.n giúp....

Answer 1

\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^3+c-3\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)-3\sqrt[3]{abc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ac}\right)\ge0\)

Mà ta có \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\ge0\\\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ac}\right)\ge0\end{cases}}\)nên cái BĐT là đúng

Answer 2

Ta có BĐT giữa trung bình nhân và trung bình cộng : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ; \(\frac{c+d}{2}\ge\sqrt{cd}\)Trước hết ta chứng minh BĐT \(\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

Áp dụng BĐT trên , ta được :  \(\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)}{2}.\frac{\left(c+d\right)}{2}}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) (*)

Đặt \(d=\frac{a+b+c}{3}\) thì \(a+b+c=3d\) (**)

Từ (*) và (**) ta có : \(\frac{3d+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow d\ge\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow d^4\ge abcd\Leftrightarrow d^3\ge abc\Leftrightarrow d\ge\sqrt[3]{abc}\) 

hay \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\) (đpcm)

Bạn tự xét dấu đẳng thức nhé!

Answer 3

cm BĐT x³+y³+z³>=3xyz bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử sau đó chứng minh tích đó lớn hơn 0

đặt căn bậc 3 của a =x , căn bậc 3 của b = y , căn bậc ba của c=z

ta có a+b+c>=ba căn bậc ba của abc

Answer 4

Bạn có thể tham khảo thêm cách của mình:

Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)(*)

Do a,b,c không âm (gt) và từ (*) suy ra : \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)

<=> \(a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)(**)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số thực dương x,y: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)ta lại có:

 \(\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2.\left(c+a\right)^2\ge4ab.4bc.4ca\)

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)(***)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Từ (**), (***) => \(\left(a+b+c\right)^3\ge3abc+3.8abc\) 

<=> \(\left(a+b+c\right)^3\ge27abc\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Answer 5

sai rồi

Answer 6

sao ko dat a=x³; b=y³ ;c=z³ roi ta co x³+y³+z³>=xyz

suy ra x³+y³+z³>=xyz roi giai tuong tu 

the don gian hon