Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Bảo Ngọc

cho a,b,c>0, dùng bđt cô si để chứng minh:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

Nguyễn Hoàng Minh
13 tháng 10 2021 lúc 14:36

Áp dụng BĐT cosi cho 3 số a,b,c dương:

\(\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2a\\ \dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2c}{c}}=2b\\ \dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2a}{a}}=2c\)

Cộng vế theo vế 3 BĐT trên

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Lấp La Lấp Lánh
13 tháng 10 2021 lúc 14:37

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}.b}=2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{c}.c}=2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
đấng ys
Xem chi tiết
Phan Hoàng Huy
Xem chi tiết
Diệp Nguyễn Thị Huyền
Xem chi tiết
Hoàn Minh
Xem chi tiết
Hoang Tran
Xem chi tiết
Vinne
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
Khiêm Nguyễn Gia
Xem chi tiết
Diệp Nguyễn Thị Huyền
Xem chi tiết