Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(4x^2+4y^2\geq 2\sqrt{16x^2y^2}=8xy\)
\(32x^2+\frac{z^2}{2}\geq 2\sqrt{16x^2z^2}=8xz\)
\(32y^2+\frac{z^2}{2}\geq 2\sqrt{16y^2z^2}=8yz\)
Cộng theo vế thu được:
\(36x^2+36y^2+z^2\geq 8(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow A\geq 8(xy+yz+xz)=8\)
Vậy \(A_{\min}=8\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\sqrt{\frac{1}{17}}; z=\frac{8}{\sqrt{17}}\)
Bài 5.
a, Chứng minh (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)
b, Với a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)
Cho x,y,z là 3 số thực dương thay đổi. Tìm min
\(Q=x\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz}\right)+y\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{xz}\right)+z\left(\dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy}\right)\)
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2-8=0\)
Tìm m để phương trình thỏa mãn \(x_1,x_2\) thỏa mãn:
\(A=x^2_1+x^2_2-x_1-x_2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\(B=x^2_1+x^2_2-x_1x_2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x +y + z = 4.
Chứng minh: \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)
Cho các số x,y thỏa mãn\(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\).Tìm GTNN của biểu thức A=\(x^2-xy+y^2+2x+2022\)
cho x,y,z thay đổi; x,y,z>=0; xy+yz+xz=xyz
tìm MAX : M=\(\dfrac{1}{4x+3y+z}+\dfrac{1}{4y+3z+x}+\dfrac{1}{4z+3x+y}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn
x+y+z=3
Tìm GTLN của biểu thức
\(B=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+3x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+3z}}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn:
xy+yz+zx=1
Tìm GTLN của biểu thức
\(A=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+y^2}}\)
Cho x,y là 2 số dương thay đổi.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(S=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
