Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn

x+y+z=3

Tìm GTLN của biểu thức

\(B=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+3x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+3z}}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
30 tháng 8 2019 lúc 17:11

\(B=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+3x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+3y}}\)

\(=\sqrt{\frac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+x\left(x+y+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+y\left(x+y+z\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\)

Áp dụng BĐT cô - si ta có :

\(\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}\right)\)

\(\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow B\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy GTLN của B là \(\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
lê hòag tiến
Xem chi tiết
Trần Thị Ngọc Trâm
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Phương Anh Đỗ
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Trần Thanh
Xem chi tiết
linh angela nguyễn
Xem chi tiết