Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Vĩ

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn \(x\ge y\ge z\) và \(x+y+z=3\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y\)

Đinh Tuấn Việt
16 tháng 6 2016 lúc 22:30

Khi  thì B = 5 do đó nếu ta chứng minh được B > 5 thì đây cũng chính là giá trị nhỏ nhất của B.

Viết B lại dưới dạng thuần nhất ta được : \(B=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{9y}{x+y+z}\)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(B\ge\frac{\left(x+z+3y\right)^2}{zx+yz+y\left(x+y+z\right)}\)

Cần chứng minh \(\left(x+z+3y\right)^2\ge5\left[zx+yz+y\left(x+y+z\right)\right]\)  (*)

Đã có x > y > z nên tồn tại 2 số thực m,n không âm sao cho m = a + z ; n = b + z

Thay m,n vào (*) ta được kết quả thu gọn là a2 + ab + 4b2 + 5bz > 0

Do đó P = 5 đạt GTNN

Hoàng Lê Bảo Ngọc
18 tháng 6 2016 lúc 1:10

Ta có : \(x\ge y\ge z\)\(\Rightarrow\frac{x}{z}\ge\frac{x}{y}\Rightarrow B\ge\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+3y=\frac{3-y}{y}+3y=\frac{3}{y}+3y-1\ge2.\sqrt{\frac{3}{y}.3y}-1=5\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y=5\\x+y+z=3\\\frac{3}{y}=3y\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy Min B = 5 <=> x = y = z = 1.

 

Ngọc Vĩ
16 tháng 6 2016 lúc 22:35

Bạn có thể viết công thức của bất đẳng thức Cauchy đc k

Đặng Minh Triều
17 tháng 6 2016 lúc 7:47

cauchy là cô-si đó má

Hoàng Phúc
17 tháng 6 2016 lúc 8:23

Hình như Cauchy-Schwarz là Bunhiacopsky mà

Ngọc Vĩ
17 tháng 6 2016 lúc 9:19

Cauchy là riêng mà ta


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Việt
Xem chi tiết
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
ank viet
Xem chi tiết
Linh Chi
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
liên hoàng
Xem chi tiết
Trịnh Hà My
Xem chi tiết