Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đinh Thị Ngọc Anh

cho x>0. Tìm min \(P=\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\dfrac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)}\)

Nguyen
25 tháng 2 2019 lúc 13:15

Có: \(x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3x^3.\dfrac{1}{x^3}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\)\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\)

Có: \(x^6+\dfrac{1}{x^6}=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^3-3\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\)\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\right]^3-3\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\right]\)

Đặt \(a=x+\dfrac{1}{x}\left(a\ge2\right)\)

\(P=\dfrac{a^6-\left[a^2-2\right]^3+3a^2+4}{a^3+a^3-3a}\)

\(P=\dfrac{-6a^4+15a^2+4}{2a^3-3a}\)

\(\Rightarrow6a^4+2Pa^3-15a^2-3Pa-4=0\)

\(\Rightarrow a^2\left(6a^2+2P+14\right)-\left(14a^2+3Pa+4\right)=0\)

Để pt \(\left\{{}\begin{matrix}6a^2+2P+14\\14a^2+3Pa+4\end{matrix}\right.\) có nghiệm thì

\(\left\{{}\begin{matrix}4P^2-336\ge0\\9P^2-224\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}P\le-2\sqrt{21}\\P\ge2\sqrt{21}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}P\le-\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\\P\ge\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Lê Nguyễn Phương Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Hữu Tuyên
Xem chi tiết
Như
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
ʚĭɞ Thị Quyên ʚĭɞ
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết