Question

Cho x, y là các số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)   là bao nhiêu?

Answer 1

Đặt `(x+y)/sqrt{xy}=a(a>0)`

`P=a+1/a`

`=a+4/a-3/a`

Áp dụng BĐT cosi:

`a+4/a>=4`

`x+y>=2sqrt{xy}<=>sqrt{xy}/(x+y)<=1/2`

`<=>1/a<=1/2`

`<=>3/a<=3/2`

`<=>P>=4-3/2=8/2`

Dấu "=" `<=>x=y=1.`

Answer 2

Áp dụng AM-GM

\(\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}\ge\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=2\)

\(P=\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}+\dfrac{x+y}{4\sqrt{xy}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}\)

Áp dụng AM-GM

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}.\dfrac{x+y}{4\sqrt{xy}}}+\dfrac{3}{4}.2=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y\)