Question

cho x, y là 2 số thực ko âm thỏa mãn

x²+y²=4. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M= \(\frac{xy}{x+y+2}\)

Answer 1

M đạt giá trị lớn nhất <=> \(\frac{1}{M}\) đạt giá trị nhỏ nhất

Do đó, ta xét : 

\(\frac{1}{M}=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\), (dấu "=" xảy ra khi a = b) , ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Lại có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{4}{4}=1\)

Suy ra \(\frac{1}{M}\ge\sqrt{2}+1\Rightarrow M\le\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\begin{cases}x=y\\x^2+y^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2}\)

Vậy Max M = \(\sqrt{2}-1\) tại \(x=y=\sqrt{2}\)