Cho tam giác ABC vuông tại A , tia phân giác của góc B cắt AC tại D . Từ D vẽ DE vuông góc với BC ( E thuộc BC)
a) CM : tam giác ABD và tam giác EBD
b) Kéo dài DE cắt đường thẳng AB tại K . CM : AK = EC
c) CM : BD vuông góc KC
d) Vẽ EM vuông góc AC ( M thuộc AC ) , AH vuông góc BC ( H thuộc BC )
CM : AE là đường trung trực của HM
Hình vẽ:
~~~~
c/ Ta có: AB = BE (ý a) ; AK = EC (ý b)
=> AB + AK = BE + EC
hay BK = BC
=> tam giác BKC cân tại B
mặt khác có: BD là p/g góc B (gt)
=> BD vừa là đường p/g vừa là đường cao
=> BD _|_ KC (đpcm)
d/ Ta có: AH _|_ BC; DE _|_ BC
=> AH // DE
=> \(\widehat{HAE}=\widehat{AED}\) (1)
mặt khác: AD = ED => tam giác ADE cân tại D
=> \(\widehat{AED}=\widehat{EAD}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông: AEH và AEM có:
AE: chung
\(\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AEH=\Delta AEM\left(ch-gn\right)\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AH=AM\\EH=EM\end{matrix}\right.\)
=> A thuộc đường trung trực của HM; E thuộc đường trung trực của HM
hay AE là đg trung trực của HM (đpcm)
