Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H, kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N. Trên tia đối của tia MH lấy D sao cho MH = MD. Trên tia đối của tia NH, lấy điểm E sao cho NH = NE. Chứng minh
a) Tứ giác AMNE là hình bình hành
b) A là trung điểm DE

Answer 1

a: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>AM//HN và AM=HN

Ta có: AM//HN

=>AM//NE

Ta có: AM=HN

HN=NE

Do đó: AM=NE

Xét tứ giác AMNE có

AM//NE

AM=NE

Do đó: AMNE là hình bình hành

b: Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>HM//AN và HM=AN

Ta có: HM//AN

=>MD//AN

ta có: HM=AN

HM=MD

Do đó: MD=AN

Xét tứ giác ADMN có

AN//MD

AN=MD

Do đó: ADMN là hình bình hành

=>MN//AD và MN=AD

Ta có: AMNE là hình bình hành

=>AE//MN và AE=MN

Ta có: AD//MN

AE//MN

mà AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

Ta có: MN=AD

AE=MN

Do đó: AD=AE

mà D,A,E thẳng hàng

nên A là trung điểm của DE