Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.
Ta có: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
Vì \(AH\cdot BC=AC\cdot AB\) (chứng minh ở câu hỏi trước r)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH}=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2\cdot AC^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}\left(pytago\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
Xét tam giác ABC vuông tại A
ta có \(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{BH.BC}+\dfrac{1}{CH.BC}=\dfrac{CH+BH}{CH.BC.BH}=\dfrac{BC}{BC.AH^2}=\dfrac{1}{AH^2}\left(đpcm\right)\)
Cái này là hệ thức lượng trong tam giác vuông thôi.
Ta thấy, do ABClà tam giác vuông tại A nên
SABC=AH.BC/2=AB.AC/2
⇒AH.BC=AB.AC
⇔AH=AB.AC/BC
⇔1/AH=BC/AB.AC
⇔1/AH^2=BC^2/AB^2.AC^2
Mặt khác, theo định lý Pitago thì
BC^2=AB^2+AC^2⇒1/AH^2=AB^2+AC^2/AB^2.AC^2=1/AB^2+1/AC^2
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh BC
nên \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
