Cho tam giac ABC, vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt đường thẳng DE ở G. Chứng minh rằng:
1) tam giac ABC đồng dạng với tam giac CGE
2) DA.EG = DB.DE
3) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC^2 = HE.HA
4) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh: 1/IH = 1/BA + 1/CG
1: Xét ΔABC và ΔCGE có
\(\widehat{BAC}=\widehat{GCE}\)(hai góc so le trong, BA//GC)
\(\widehat{ABC}=\widehat{CGE}\left(=\widehat{ADE}\right)\)
Do đó: ΔABC~ΔCGE
2: Xét ΔABC có DE//BC
nên \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)(1)
Xét ΔEAD và ΔECG có
\(\widehat{EAD}=\widehat{ECG}\)(hai góc so le trong, AD//CG)
\(\widehat{AED}=\widehat{CEG}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEAD~ΔECG
=>\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{ED}{EG}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{ED}{EG}\)
=>\(DA\cdot EG=DB\cdot ED\)
3: Xét ΔHEG và ΔHCB có
\(\widehat{HEG}=\widehat{HCB}\)(hai góc so le trong, EG//BC)
\(\widehat{EHG}=\widehat{CHB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó; ΔHEG~ΔHCB
=>\(\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{EG}{CB}\left(3\right)\)
Ta có: ΔABC~ΔCGE
=>\(\dfrac{BC}{EG}=\dfrac{AB}{CG}\)
=>\(\dfrac{EG}{BC}=\dfrac{CG}{AB}\left(4\right)\)
Xét ΔHGC và ΔHBA có
\(\widehat{HGC}=\widehat{HBA}\)(hai góc so le trong, GC//AB)
\(\widehat{GHC}=\widehat{BHA}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHGC~ΔHBA
=>\(\dfrac{GC}{BA}=\dfrac{HC}{HA}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra \(\dfrac{HC}{HA}=\dfrac{HE}{HC}\)
=>\(HC^2=HE\cdot HA\)
