Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM, trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN. G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Phân tích các véc tơ \(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BN}\) qua các véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)
b) Phân tích các véc tơ \(\overrightarrow{GC},\overrightarrow{MN}\) qua các véc tơ \(\overrightarrow{GA}\) và \(\overrightarrow{GB}\)
a: BM=3CM
=>\(BM=\dfrac{3}{4}BC;CM=\dfrac{1}{4}BC\)
2AN=5MN
=>\(AN=\dfrac{5}{2}MN\)
=>\(AN=\dfrac{5}{7}AM;MN=\dfrac{2}{7}AM\)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{1}{4}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\cdot\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{7}\overrightarrow{MA}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{7}\overrightarrow{MB}+\dfrac{2}{7}\overrightarrow{BA}\)
\(=\dfrac{29}{28}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{7}\overrightarrow{BM}\)
\(=-\dfrac{29}{28}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(=-\dfrac{29}{28}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{14}\overrightarrow{BC}\)
\(=-\dfrac{29}{28}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{14}\overrightarrow{BA}-\dfrac{3}{14}\overrightarrow{AC}\)
\(=-\dfrac{23}{28}\overrightarrow{AB}+\dfrac{15}{28}\overrightarrow{AC}\)
b: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\)
