a: Xét tứ giác BEDC có 
nên BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>B,E,D,C cùng thuộc (I)
b: Xét tứ giác BHCK có
I là trung điểm chung của BC và HK
=>BHCK là hình bình hành
c: BHCK là hình bình hành
=>BH//CK và BK//CH
ta có: BH//CK
BH\(\perp\)AC
Do đó: CK\(\perp\)CA
=>C nằm trên đường tròn đường kính AK(1)
Ta có: BK//CH
CH\(\perp\)AB
Do đó: BK\(\perp\)BA
=>B nằm trên đường tròn đường kính AK(2)
Từ (1),(2) suy ra A,B,K,C cùng thuộc đường tròn đường kính AK
Tâm O là trung điểm của AK
d: Xét ΔKAH có
O,I lần lượt là trung điểm của KA,KH
=>OI là đường trung bình của ΔKAH
=>OI//AH và \(OI=\dfrac{1}{2}AH\)
e: Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại F
Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBFA vuông tại F có
\(\widehat{EBC}\) chung
Do đó: ΔBEC~ΔBFA
=>\(\dfrac{BE}{BF}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BE\cdot BA=BF\cdot BC\)
Xét ΔCFA vuông tại F và ΔCDB vuông tại D có
\(\widehat{FCA}\) chung
Do đó: ΔCFA~ΔCDB
=>\(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{CA}{CB}\)
=>\(CD\cdot CA=CF\cdot CB\)
\(BE\cdot BA+CD\cdot CA=BF\cdot BC+CF\cdot BC=BC\left(BF+CF\right)=CB^2\)
