Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm HC, N là trung điểm AC, AM giao với HN tại G. đường thẳng qua M vuông góc với HC cắt đường thẳng qua N vuông góc với AC tại K.
CMR:a, tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC
b, BH.KM=BA.KN
c, \(\sqrt{\dfrac{GA^5+GB^5+GH^5}{GM^5+GK^5+GN^5}}=4\sqrt{2}\)
tự vẽ hình nha bạn
a) bạn cần chứng minh tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF(g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)
tam giác AEF và tam giác ABC có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\\\widehat{BAC}:chung\end{matrix}\right.\)
suy ra tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC (c-g-c)
b) Gọi I là giao điểm của NC và MK
ta có \(\widehat{ABH}=\widehat{ICM}\)(tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF)
và \(\widehat{ICM}=\widehat{IKN}\) ( tam giác IMC đồng dạng tam giác INK (g-g) , tự chứng minh nha bạn )
\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{IKN}\left(1\right)\)
ta có \(\widehat{BAH}=\widehat{HCD}\) ( tam giác AHF đồng dạng tam giác CHD (g-g) , tự chứng minh nha bạn )
và \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{NMK}+\widehat{HMN}=90^0\\\widehat{HCD}+\widehat{CHD}=90^0\\\widehat{CHD}=\widehat{HMN}\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{NMK}=\widehat{HCD}\)
\(\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{BAH}\left(2\right)\)
từ (2)(1) suy ra tam giác ABH đồng dạng tam giác MKN(G-G)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{MK}=\dfrac{BH}{KN}\Leftrightarrow AB.KN=BH.MK\)
câu c) bạn chỉ cần chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}GA=2GM\\GB=2GK\\GH=2GN\end{matrix}\right.\) (sài tính chất trọng tâm của tam giác)
