\(3\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)\\ =\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2\right)+\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)+\left(\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)+\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)\)
\(\text{Ta có }:\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2\\ =\overrightarrow{GA}^2-2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}^2-2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}\\ =\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}\right)^2+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}^2+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}\\ Tương\text{ }tự:\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GC}^2=\overrightarrow{CA}^2+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}\\ \overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GC}^2=\overrightarrow{BC}^2+2\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\)
\(\Rightarrow3\left(\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2\right)\\ =\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2+2\left(\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}\right)\\ =\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{CA}^2+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2\\ =\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{BC}^2\\ \Rightarrow\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}^2+\overrightarrow{GC}^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{BC}^2\)
