Question

cho pt ẩn x : x² - 5x + m -2 =0

tìm m để pt có 2 ng⁰ dương phân biệt x₁ , x₂ thỏa mãn hệ thức 2(\(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{x}_2}\) ) = 3

đấy , chị giải bài này hộ em =D

Answer 1

\(\Delta\) = 5² - 4(m - 2) = 25 - 4m + 8 = 33 - 4m

phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\) \(\Delta\) > 0 \(\Leftrightarrow\) 33 - 4m > 0 \(\Leftrightarrow\) - 4m > - 33 \(\Leftrightarrow\) m < \(\dfrac{33}{4}\)

phương trình có 2 nghiệm dương \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1.x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}5>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) m > 2

ta có : \(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)\) = 3 \(\Leftrightarrow\) \(2\left(\dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1.x_2}}\right)\) = 3

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{2\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)}{\sqrt{x_1.x_2}}\) = 3 \(\Leftrightarrow\) \(2\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\) = \(3\sqrt{x_1.x_2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\sqrt{x_1}\) + \(2\sqrt{x_2}\) = \(3\sqrt{x_1.x_2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(2\sqrt{x_1}+2\sqrt{x_2}\right)^2\) = \(\left(3\sqrt{x_1.x_2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) 4x₁ + 8\(\sqrt{x_1.x_2}\) + 4x₂ = 9x₁.x₂ \(\Leftrightarrow\) 4(x₁ + x₂) + 8\(\sqrt{x_1.x_2}\) = 9x₁.x₂

áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

thay vào ta có : 20 + 8\(\sqrt{m-2}\) = 9(m-2)

\(\Leftrightarrow\) 20 + 8\(\sqrt{m-2}\) = 9m - 18 \(\Leftrightarrow\) 9m - 38 = 8\(\sqrt{m-2}\)

\(\Leftrightarrow\) (9m - 38)² = 64 (m - 2) (vì m - 2 > 0)

\(\Leftrightarrow\) 81m² - 684m + 1444 = 64m - 128

\(\Leftrightarrow\) 81m² - 748m + 1572 = 0

giải phương trình ta được m = 6 ; m = \(\dfrac{262}{81}\) (đều thỏa mảng điều kiện)

vậy m = 6 ; m = \(\dfrac{262}{81}\) là thỏa mãng điều kiện bài toán