Question

cho phương trình: \(^{x^2-2x+m=0}\) Tìm m đề phương trình có  nghiệm x1, x2 thỏa mãn: \(\frac{1}{x1^2}+\frac{1}{x2^2}=1\)

 

 

Answer 1

pt \(x^2-2x+m=0\) (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-m=1-m\)

Để pt có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì \(\Delta'>0\)_{\(\Leftrightarrow\)}\(m< 1\)

Ta có : \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=1\) (*) 

Theo Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{cases}}\)

(*) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{2^2-2m}{m^2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(m^2+2m-4=0\) (2) 

pt (2) có \(\Delta'=1^2-\left(-4\right)=5>0\)\(\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm phân biệt \(\hept{\begin{cases}m_1=-1+\sqrt{5}\left(loai\right)\\m_2=-1-\sqrt{5}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy để \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=1\) thì \(m=-1-\sqrt{5}\)