cho (O) , đường kính AB , H thuộc tia đối tia AB.Vẽ đường thẳng d vuông góc AB tại H. Gọi C thuộc (O) , tia AC cắt d tại N. Quan N kẻ tiếp tiến NE với (O) (E và B thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AN) , các đường thẳng AF,BE cắt d lần lượt tại K và I
CM
a)KB vuông góc AI
b) KECN là tứ giác nội tiếp
c)N là trung điểm IK
d) CMR: khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKI tới d không đổi khi C di động trên (O)
a, Xét đg tròn (O) có: \(\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chăn nửa đg tròn => \(\widehat{AEB}=90^0\)
Xét \(\Delta KIB\) có: \(KE\perp BI\) tại E (\(\widehat{AEB}=90^0\))
\(BH\perp IK\) tại H (gt)
Mà KE cắt BH tại A => A là trực tâm của \(\Delta KIB\)
=> \(IA\perp KB\)
b, Xét \(\Delta KEI\) và \(\Delta BHI\) có:
\(\widehat{BHI}=\widehat{KEI}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{I}\) là góc chung
=> \(\Delta KEI\) ~ \(\Delta BHI\left(g.g\right)\)
=> \(\widehat{NKE}=\widehat{ABE}\).
Xét đg tròn (O) có: \(\widehat{ABE}=\widehat{ACE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
=> \(\widehat{NKE}=\widehat{ACE}\)
Xét tứ giác KCEN có: \(\widehat{NKE}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
=> KCEN là tgnt
c, Xét đg tròn (O), tiếp tuyến NE có: \(\widehat{NEK}=\widehat{ACE}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{NKE}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{NEK}=\widehat{NKE}\)
=> \(\Delta NEK\) cân tại N => NE=NK
Xét \(\Delta KEI\) vuông tại E (\(\widehat{KEI}=90^0\)) có:
\(\widehat{NKE}+\widehat{NIE}=90^0\)
Mà \(\widehat{NEK}+\widehat{NEI}=90^0\)
=> \(\widehat{NIE}=\widehat{NEI}\)
=> \(\Delta NEI\) cân tại N => NE=NI
Mà NE=NK (cmt)
=> NI=NK. Mà N nằm giữa I và K
=> N là trung điểm của IK
d, Mình ko biết làm, :p
