Question

Cho hình chóp S.ABC có A B = B C = C A = a ,   S A = S B = S C = a 3 , Mlà điểm bất kì trong không gian. Gọi d là tổng các khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB, BC, CA, SA, SB, SC. Giá trị nhỏ nhất của d bằng:

A. d = 2 a 3 .

B.  a 6 2 .

C.  a 6 .

Answer 1

Đáp án C

Gọi E và F là trung điểm của BC và AB và O là trọng tâm tam giác ABC ta có: S O ⊥ A B C

Do A E = B C S O = B C ⇒ B C ⊥ S A E . Dựng E K ⊥ A suy ra EK là đoạn vuông góc cung của SA và BC. Tương tự dựng FI; RL là các đoạn vuông góc chung của 2 cạnh đối diện.

Do tính chất đối xứng ta dễ dàng suy ra EK, FI, RL đồng quy tại điểm M

Như vậy  d ≥ E K + F I + R L = 3 E K

Mặc khác  O A = a 3 3 ⇒ cos S A O ⏜ = 1 3 ⇒ sin S A O ⏜ = 2 2 3

Do đó:  K E = A E sin A = a 3 2 − 2 2 3 = a 6 3

Do vậy  d min = a 6