Question

Cho hình chóp S.ABC có S A = a , S B = b , S C = c . Một mặt phẳng α  đi qua trọng tâm của Δ A B C , cắt các cạnh S A , S B , S C  lần lượt tại A ' , B ' , C ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 S A ' 2 + 1 S B ' 2 + 1 S C ' 2 .

A. 3 a 2 + b 2 + c 2 .

B. 2 a 2 + b 2 + c 2 .

C. 2 a 2 + b 2 + c 2 .

D. 9 a 2 + b 2 + c 2 .

Answer 1

Đáp án A

Giả sử  S A → = x S A ' → ;    S B → = y S B ' → ;    S C → = z S C ' →   .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G A → + G B → + G C → = 0 .

⇒ 3 G S → + S A → + S B → + S C → = 0

⇒ S G → = S A → 3 + S B → 3 + S C → 3 ⇒ S G → = x 3 . S A ' → + y 3 . S B ' → + z 3 . S C ' →    1

Do   A ' B ' C ' đi qua G nên ba vectơ   G A ' → ; G B ' → ; G C ' → đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số   i ; m ; n , i 2 + m 2 + n 2 ≠ 0 sao cho  i . G A ' → + m . G B ' → + n . G C ' → = 0

i + m + n . G S → + i . S A ' → + m . S B ' → + n . S C ' → = 0

⇒ S G → = i i + m + n S A ' → + m i + m + n S B ' → + n i + m + n . S C ' →    2

Do S G ; S A ' ; S B ' ; S C '  không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

x 3 = i i + m + n ;    y 3 = m i + m + n ;     z 3 = n i + m + n

x + y + z 3 = i + m + n i + m + n = 1 ⇒ x + y + z = 3

Ta có  1 S A ' 2 + 1 S B ' 2 + 1 S C ' 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực   x a ; y b ; z c và   a ; b ; c ta có .

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ x + y + z 2

⇔ 1 S A ' 2 + 1 S B ' 2 + 1 S C ' 2 ≥ x + y + z 2 a 2 + b 2 + c 2 = 3 a 2 + b 2 + c 2

Dấu “=” xảy ra khi  x 2 a 2 = y 2 b 2 = z 2 c 2