a) Xét tứ giác APDE có
M là trung điểm của đường chéo AD(gt)
M là trung điểm của đường chéo EP(E và P đối xứng nhau qua M)
Do đó: APDE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒ED//AP(hai cạnh đối trong hình bình hành APDE)
hay ED//AB
Xét tứ giác BPCF có
N là trung điểm của đường chéo BC(gt)
N là trung điểm của đường chéo PF(P và F đối xứng nhau qua N)
Do đó: BPCF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒BP//CF(hai cạnh đối trong hình bình hành BPCF)
hay CF//AB
Ta có: ABCD là hình bình hành(gt)
nên CD//AB(hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
mà CF//AB(cmt)
và CD, CF có điểm chung là C
nên F∈CD(đpcm1)
Ta có: CD//AB(cmt)
mà DE//AB(cmt)
và DE, CD có điểm chung là D
nên E∈CD(đpcm2)
b) Ta có: AB=AP+PB(P nằm giữa A và B)
mà AP=ED(hai cạnh đối của hình bình hành APDE)
và CF=PB(hai cạnh đối của hình bình hành PBFC)
nên AB=ED+CF
mà AB=DC(hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
nên DC=DE+DF
Ta có: DC+DE+CF=EF(E,D,C,F thẳng hàng)
nên DC+DC=EF
hay EF=2DC(đpcm)
