Làm chi mà khó hiểu thế. Làm lại bài của Thắng Nguyễn cho dễ hiểu.
\(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)\sqrt{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow P^2=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)^2.\left(xy+yz+zx\right)\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{3}\\y=\frac{b}{2}\\z=c\end{cases}}\)thì ta có
\(P^2=\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2.\left(\frac{ab}{6}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{3}\right)\)
\(=\frac{1}{12}\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2.\left(2ab+6bc+4ca\right)\)
Ta có: \(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge12.\sqrt[12]{\frac{1}{a^3.b^4.c^5}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2\ge12^2.\sqrt[12]{\frac{1}{a^6.b^8.c^{10}}}\)
Ta lại có: \(2ab+6bc+4ca\ge12.\sqrt[12]{\left(ab\right)^2.\left(bc\right)^6.\left(ca\right)^4}=12.\sqrt[12]{a^6.b^8.c^{10}}\)(tách y hệt cái trên)
Từ đây ta có: \(P^2\ge\frac{1}{12}.12^2.\sqrt[12]{\frac{1}{a^6.b^8.c^{10}}}.12\sqrt[12]{a^6.b^8.c^{10}}=12^2\)
\(\Rightarrow P\ge12\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c hay z = 2y = 3x
đề? \(\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)\sqrt{xy+yz+xz}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\frac{x}{3}\\b=\frac{y}{2}\\c=z\end{cases}}\). Do đó, áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{5}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{5}{c}\right)^2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(=\frac{1}{12}\left(\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{5}{z}\right)^2\left(2xy+4xz+6yz\right)\)
\(\ge\frac{1}{12}\cdot12^3\sqrt[12]{x^{-6}y^{-8}z^{-10}x^2y^2x^4z^4y^6z^6}=144\)
Vì vậy \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{5}{c}\ge12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) thì P đạt GTNN là 12
với dòng phương trình đầu tiên của @TN=> (ab+bc+ac)=1 ( có thấy đề nói cái này =1 đâu)
x,y,z tùy ý => a,b,c tùy ý => sai. mình chỉ xem đên đấy
