Đặt: \(P=\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\)
Từ đề bài ta có: \(abc\ge0\)
Ta chứng minh: \(\frac{a}{1+bc}\le\frac{2a}{2+abc}\)
\(\Leftrightarrow2a+a^2bc\le2a+2abc\)
\(\Leftrightarrow abc\left(2-a\right)\ge0\)(đúng)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{1+ac}\le\frac{2b}{2+abc}\)
\(\frac{c}{1+ab}\le\frac{2c}{2+abc}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{2+abc}\)
\(\Rightarrow P-2\le\frac{2\left(a+b+c-2-abc\right)}{2+abc}\)
\(=-\frac{2\left(\left(1-a\right)\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\left(1-ab\right)\right)}{2+abc}\)
\(\le0\)(vì \(0\le a\le b\le c\le1\))
\(\Rightarrow P\le2\)
Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
Từ \(\hept{\begin{cases}a\le1\Rightarrow a-1\le0\\b\le1\Rightarrow b-1\le0\end{cases}}\) suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\Rightarrow2ab+1\ge a+b\left(ab\ge0\right)\)
\(\Rightarrow2ab+2\ge a+b+c\left(1\ge c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2ab+2}\le\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{1}{2\left(ab+1\right)}\le\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\end{cases}}\).Cộng theo vế ta có:
\(VT\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
quá nhiều ý tưởng mà ko ai vào chém à
Chứng minh rằng bạn rất rất rất ........................rất ngu
Thắng Nguyễn cẩn thận nhé. Cái bất đẳng thức đầu tiên xảy ra khi ab = 0, thứ 2 xảy ra khi bc = 0, thứ 3 xảy ra khi ca = 0
Hay cái bất đẳng thức của you xảy ra khi
\(\hept{\begin{cases}ab=0\\bc=0\\ca=0\end{cases}}\)
Nói tới đây thì you thấy chỗ sai của mình rồi đúng không
Một bài toán có (n+1)! cách giải hiện tại chưa có cánh nào hay hơn. tạm chập nhận cách đó hay nhất
còn bạn C/m sai e rằng bạn đang nhầm
Bài của @Ali nếu thiếu chỉ thiếu mõi cái Đẳng thức xẩy ra khi nào?
Nếu thực sự muốn biết chi cần nhắn tin nếu online khảng định sau 1 phút có đáp án.
vậy t có cách này , mn tham khảo:
Không mất tính TQ,giả sử 0<=a<=b<=c<=1
Ta có ab+1<=ac+1,ab+1<=bc+1
=>a/bc+1 + b/ca+1 + c/ab+1 <= a/ab+1 + b/ab+1 + c/ab+1
=>a/bc+1 + b/ca+1 + c/ab+1 <= (a+b+c)/(ab+1) (1)
Từ gt ta co1 (1-a)(1-b) >= 0 =>a+b <= ab+1 <= 2ab+1 .mà c<=1 nên a+b+c <= 2ab+1+1=2(ab+1)
=>(a+b+c)/(ab+1) <= 2(ab+1)/ab+1 = 2 (2)
Từ (1),(2) suy ra đpcm
Theo cách làm@hoángphuc CTV mình thấy gọn nhưng chưa biết đẳng thức xẩy ra khi nào??
Giải:
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên \(ab,bc,ca\ge abc\)
Do đó: \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a+b+c}{abc+1}\)
Vậy ta cần chứng minh: \(\frac{a+b+c}{abc+1}\le2\)
\(\Leftrightarrow2\left(abc+1\right)\ge a+b+c\)
Vì \(a,b,c\le1\) nên \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)\left(bc-1\right)\ge0\\\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2abc+1\ge abc+1\ge bc+a\)
\(\Rightarrow bc+1\ge b+c\)
Do đó \(2abc+2\ge a+bc+1\ge a+b+c\)
Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(0,1,1\right)\)
Bạn tham khảo bài mình làm tại đây nhé: Câu hỏi của Kaitou Kid(Kid-sama) - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Kiến thức lớp 7 thôi,cần gì nhiều :v. Cảm ơn anh ali đã gợi ý!
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a-b-c}{bc+1-ac+1-ab+1}\)= \(\frac{a-b-c}{bc-ac-ab}=\frac{a-b-c}{\left(b-a\right)\times c}\)
Ta có :\(\frac{a-b}{b-a}=\frac{c}{c}=1\)=>\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}>2\)
tfkkfkdjldl56899000000843jcckdfdlkdfck
