Câu hỏi của katherina

Question

Cho $a,b,c,d\in Z^+$ thỏa $ab=cd$CMR: A= $a^n+b^n+c^n+d^n$ là mọt hợp số với $n\in N$

Bùi Nhất Duy · Accepted Answer

Giả sử ƯCLN(a,c)=p(p$\ge1$)

$\Rightarrow a=p\times a1,c=p\times c1$(a1,b1 là các số dương và (a1,c1)=1)

Từ đẳng thức ab=cd suy ra a1b=c1d do(a1,c1)=1 nên b$⋮c1,d⋮a1$, ta có :

b=c1q và d=a1q(q$\in Z^+$)

Từ đó suy ra : $a^n+b^n+c^n+d^n=\left(a1^n+c1^n\right)\left(p^n+q^n\right)$

do p$\ge1,q\ge1$ nên p^n+q^n >=2 và a1,c1 là các số dương nên a^n+b^n+c^n+d^n là hợp sốCâu trả lời: Giả sử ƯCLN(a,c)=p(p$\ge1$)

$\Rightarrow a=p\times a1,c=p\times c1$(a1,b1 là các số dương và (a1,c1)=1)

Từ đẳng thức ab=cd suy ra a1b=c1d do(a1,c1)=1 nên b$⋮c1,d⋮a1$, ta có :

b=c1q và d=a1q(q$\in Z^+$)

Từ đó suy ra : $a^n+b^n+c^n+d^n=\left(a1^n+c1^n\right)\left(p^n+q^n\right)$

do p$\ge1,q\ge1$ nên p^n+q^n >=2 và a1,c1 là các số dương nên a^n+b^n+c^n+d^n là hợp số