Question

Cho A=1+4+4²+4³+...+4⁹⁹

B=4¹⁰⁰

CMR:A<\(\frac{B}{3}\)

Answer 1

A=1+4+4²+4³+...+4⁹⁹

=>4A=4+4²+4³+4⁴+...+4¹⁰⁰

=>4A-A=(4+4²+4³+4⁴+...+4¹⁰⁰)-(1+4+4²+4³+...+4⁹⁹)

=>3A=4¹⁰⁰-1 

=>A=\(\frac{4^{100}-1}{3}\) < 4¹⁰⁰

=>A<B

 

Answer 2

     \(A=1+4+4^2+4^3+...+4^{99}\)

=> \(4A=4+4^2+4^3+4^4+...+4^{100}\)

=> \(4A-A=\left(4+4^2+4^3+...+4^{100}\right)-\left(1+4+4^2+...+4^{99}\right)\)

=> \(3A=4^{100}-1\)

=> \(A=\frac{4^{100}-1}{3}\)

Ta có : \(B=4^{100}\)   =>  \(\frac{B}{3}=\frac{4^{100}}{3}\)

Vì    \(4^{100}-1<4^{100}\)     =>   \(\frac{4^{100}-1}{3}<\frac{4^{100}}{3}\)    =>  \(A<\frac{B}{3}\)   (đpcm)

Answer 3

Nhân 4 vào bốn vế của A , ta được :

4A = 4.( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹ )

=> 4A = 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4¹⁰⁰

Lấy biểu thức 4A - A , ta được :

4A - A = ( 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4¹⁰⁰ ) - ( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹ )

=> 3A = 4¹⁰⁰ - 1

=> A = \(\frac{4^{100}-1}{3}\)

\(\frac{B}{3}=\frac{4^{100}}{3}\)

Vì \(\frac{4^{100}-1}{3}<\frac{4^{100}}{3}\) nên \(A<\frac{B}{3}\) ( đpcm )