Question

cho a>1, b>1. chứng minh:

\(\frac{6}{ab}+\sqrt{3ab+4}\ge\frac{11}{2}\)

Nhờ mọi người giải dùm

Answer 1

Lời giải:
Đặt $\sqrt{3ab+4}=t(t>\sqrt{7})$ thì $ab=\frac{t^2-4}{3}$

Bài toán trở thành:

Cho $t>\sqrt{7}$. CMR: $\frac{18}{t^2-4}+t\geq \frac{11}{2}(*)$

Thật vậy:

\((*)\Leftrightarrow \frac{t^3-4t+18}{t^2-4}\geq \frac{11}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2t^3-8t+36\geq 11t^2-44\)

\(\Leftrightarrow 2t^3-11t^2-8t+80\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (2t+5)(t-4)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $t>\sqrt{7}$)

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $t=4\Leftrightarrow ab=4$