Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
TÉT TÉT

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1\)

Chứng minh rằng \(ab+bc+ac\ge\frac{abc}{3}\)

Hoàng Lê Bảo Ngọc
12 tháng 9 2016 lúc 17:13

Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\sqrt{abc}\)

Do đó : \(ab+bc+ac\ge\frac{abc}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(\sqrt{a^2bc}+\sqrt{b^2ac}+\sqrt{c^2ab}\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+b\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2+c\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh


Các câu hỏi tương tự
chàng trai 16
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
ank viet
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
Xuân Bách
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
Phạm Thanh Trà
Xem chi tiết
Nguyễn Yến Vy
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết