Question

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1+\(\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{6}{ab+bc+ca}\)

Answer 1

đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\), khi đó xyz = 1

bđt ⇔ \(1+\frac{3}{xy+yz+zx}\) ≥ \(\frac{6}{x+y+z}\). ta có \(\left(x+y+z\right)^2\) ≥ \(3\left(xy+yz+zx\right)\)

nên \(1+\frac{3}{xy+yz+zx}\) ≥ \(1+\frac{9}{\left(x+y+x\right)^2}\).

ta sẽ cm \(1+\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\) ≥ \(\frac{6}{x+y+z}\) (*)

(*) ⇔ \(\left(1-\frac{3}{x+y+z}\right)^2\) ≥ 0 luôn đúng. do đó bđt đúng

dấu bằng xảy ra khi : x = y = z = 1 ⇔ a = b = c = 1.