Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Nguyễn Thị Thùy Dung

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

 Mashiro Shiina
19 tháng 3 2019 lúc 19:41

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ac\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 3 2019 lúc 19:41

\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bình luận (0)
Rồng Đom Đóm
19 tháng 3 2019 lúc 19:59

Cách khác: sử dụng AM-GM:

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}\cdot ab}=2a^2\)

TT:\(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\);\(\frac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)

Cộng vế theo vế và sử dụng đánh giá quen thuộc \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) ta có đpcm

"="<=>a=b=c

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Châu Trần
Xem chi tiết
Kudo Nguyễn
Xem chi tiết
Dang Son Nguyen
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Mai Thị Thanh Xuân
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
tràn thị trúc oanh
Xem chi tiết
Sonyeondan Bangtan
Xem chi tiết
Alice dono
Xem chi tiết