Question

cho a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2=1\)

chứng minh rằng \(A=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\dfrac{bc-2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\dfrac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ca\)

Answer 1

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ac}}\)

Answer 2

Bài này có xuất hiện rồi ,you vào mục tìm kiếm là thấy liền.

Lời giải vắn tắt:

\(A=\sum\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sum\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(1+ab-c^2\right)}}\ge\sum\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{1+2ab+c^2}=\sum\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{\left(a+b\right)^2+2c^2}\ge\sum\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}=\sum\left(ab+2c^2\right)=ab+bc+ca+2\)

( thay \(a^2+b^2+c^2=1\))