Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Đức Trịnh Minh

Cho a,b,c dương thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\). Tìm GTLN của

\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

Ngô Tấn Đạt
5 tháng 6 2018 lúc 9:20

Em nghĩ đề là a chứ không phải 2a ;v

\(P=\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\\ =\dfrac{a}{\sqrt{ab+bc+ac+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ac+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ac+c^2}}\\ =\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\\ \le\left(\dfrac{a}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{a}{2\left(a+c\right)}\right)+\left(\dfrac{b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}\right)+\left(\dfrac{c}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{4}\)

Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/căn 3

Bình luận (0)
Neet
17 tháng 12 2018 lúc 18:19

Dự đoán điểm rơi b=c=ka. Ta có:

\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\)

\(\dfrac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}=\dfrac{b.\sqrt{\dfrac{2k}{k+1}}}{\sqrt{\left(b+c\right).\dfrac{2k\left(a+b\right)}{k+1}}}\le\dfrac{b}{2}\sqrt{\dfrac{2k}{k+1}}.\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{\left(k+1\right)}{2k\left(a+b\right)}\right)\)

\(\dfrac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\dfrac{c}{2}.\sqrt{\dfrac{2k}{k+1}}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{k+1}{2k\left(a+c\right)}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{a}{a+b}+\sqrt{\dfrac{k+1}{8k}}.\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\sqrt{\dfrac{k+1}{8k}}.\dfrac{c}{a+c}+\sqrt{\dfrac{k}{2k+2}}\)

Tìm k sao cho \(\sqrt{\dfrac{k+1}{8k}}=1\Rightarrow k=\dfrac{1}{7}\)

Do đó trình bày lại bài toán ngắn gọn như sau:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{2b}{\sqrt{4\left(b+c\right).\left(b+a\right)}}+\dfrac{2c}{\sqrt{4\left(b+c\right).\left(a+b\right)}}\)

\(\le\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{a+c}\)

\(=1+1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=7b=7c=\dfrac{7}{\sqrt{15}}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Aocuoi Huongngoc Lan
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
tràn thị trúc oanh
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Trâm
Xem chi tiết
Nhóc Cận
Xem chi tiết
TTTT
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết