Question

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 =1

CMR: a^2/(1+b-a) + b^2/(1+c-b) + c^2/(1+a-c) >=1

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^2}{1+b-a}+a^2\left(1+b-a\right)\ge2a^2\)

\(\frac{b^2}{1+c-b}+b^2\left(1+c-b\right)\ge2b^2\)

\(\frac{c^2}{1+a-c}+c^2\left(1+a-c\right)\ge2c^2\)

Cộng theo vế rồi rút gọn, ta được:

\(\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}+a^2b+b^2c+c^2a-a^3-b^3-c^3\ge1\)

Vậy ta cần cm BĐT \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\), luôn đúng với BĐT AM-GM 3 số

Vậy BĐT được chứng minh