Question

cho 3 số dương 0\(\le\)a\(\le\)b\(\le\)c\(\le\)1. chứng minh rằng a/(bc+1)+b/(ac+1)+c/(ab+1)\(\le\)2​

Answer 1

Lời giải

Vì $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$ nên $ab,bc,ca\geq abc$

Do đó

$A=\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{a+b+c}{abc+1}$

Ta cần CM $\frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\Leftrightarrow 2(abc+1)\geq a+b+c$

Thật vậy:

Vì $a,b,c \leq 1$ nên $\left\{\begin{matrix}(a-1)(bc-1)\geq 0\\ (b-1)(c-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2abc+1\geq abc+1\geq bc+a\\ bc+1\geq b+c\end{matrix}\right.$

Do đó $2abc+2\geq a+bc+1\geq a+b+c$

Hoàn tất chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,1)$

Answer 2