a: Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)
\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)
mà AB=DC(ABCD là hình bình hành)
nên AM=MB=DN=NC
Xét tứ giác AMND có
AM//ND
AM=ND
Do đó: AMND là hình bình hành
Xét tứ giác BMNC có
BM//CN
BM=CN
Do đó: BMNC là hình bình hành
Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
Xét tứ giác BMDN có
BM//DN
BM=DN
Do đó: BMDN là hình bình hành
b: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
AMCN là hình bình hành
=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MN
=>M,O,N thẳng hàng
c: Vì O là trung điểm chung của cả AC,BD,MN
nên AC,BD,MN đồng quy tại O
`a)` Xét tứ giác `AMND` và `BMNC`, có:
AM // CN (vì AB // CD, `M` và `N` lần lượt là trung điểm của `AB` và `CD`)
`AM = CN` (vì `AM = 1/2` `AB = 1/2` `CD = CN`)
Tương tự, ta có: AD // MN và `AD = MN`
Tứ giác `AMND` có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Tứ giác `BMNC` cũng có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Xét tứ giác `MBND` và `AMCN`, có:
MB // ND (vì AB // CD, `M` và `N` lần lượt là trung điểm của `AB` và `CD`)
`MB = ND` (vì `MB = 1/2` `AB = 1/2` `CD = ND`)
Tương tự, ta có: AM // CN và `AM = CN`
Tứ giác `MBND` có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Tứ giác `AMCN` cũng có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
`b)` Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy `O` là trung điểm của `AC` và `BD`.
`M` và `N` lần lượt là trung điểm của `AB` và `CD` (gt)
MN // AB // CD (vì `M` và `N` lần lượt là trung điểm của `AB` và `CD`)
`MN = 1/2` `(AB + CD)` (tính chất đường trung bình của hình thang)
Vì `O` là trung điểm của `AC` và `BD`, mà `AC` và `BD` là hai đường chéo của hình bình hành `ABCD` nên `O` cũng thuộc đường trung bình `MN`.
Vậy ba điểm `M`, `O`, `N` thẳng hàng.
`c)` Từ chứng minh trên, ta đã có:
`O` là giao điểm của `AC` và `BD`.
`O` cũng thuộc `MN`.
Vậy `AC`, `BD`, `MN` đồng quy tại điểm `O`.
