1: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: OC là phân giác của góc MOA
=>\(\widehat{MOC}=\dfrac{\widehat{MOA}}{2}\)
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOD}=\dfrac{\widehat{MOB}}{2}\)
\(\widehat{DOC}=\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
=>OC\(\perp\)OD
2: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA
=>C nằm trên đường trung trực của MA(1)
Ta có: OM=OA
=>O nằm trên đường trung trực của MA(2)
Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của MA
=>OC\(\perp\)MA tại H và H là trung điểm của AM
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB
=>D nằm trên đường trung trực của MB(3)
Ta có: OM=OB
=>O nằm trên đường trung trực của MB(4)
Từ (3),(4) suy ra OD là đường trung trực của MB
=>OD\(\perp\)MB tại K và K là trung điểm của MB
Xét tứ giác MHOK có \(\widehat{MHO}=\widehat{MKO}=\widehat{HOK}=90^0\)
nên MHOK là hình chữ nhật
=>HK=MO=R không đổi khi M thay đổi trên (O)
3: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
mà MC=CA; MD=DB
nên \(AC\cdot BD=OM^2=R^2\) không đổi khi M thay đổi trên (O)
4: Xét hình thang ABDC có
O,E lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>OE là đường trung bình của hình thang ABDC
=>OE//AC//BD
Ta có: OE//AC
AC\(\perp\)AB
Do đó: OE\(\perp\)AB tại O
E là trung điểm của CD
=>E là tâm đường tròn đường kính CD
ΔOCD vuông tại O
mà OE là đường trung tuyến
nên EO=EC=ED
=>O nằm trên (E)
Xét (E) có
EO là bán kính
AB\(\perp\)EO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (E)
=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
