Lời giải:
\(B(-2,3); C(1,2)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(3,-1)\)
Vecto pháp tuyến của đt $BC$: \(\overrightarrow{n}=(1,3)\)
Đặt PTĐT của $BC$ là \(x+3y+k=0\). Thay $x=-2,y=3$ (ứng với điểm $B$) suy ra \(k=-7\)
Vậy PTĐT $BC$ là $x+3y-7=0$
a)
Gọi tọa độ của $K$ là $(a,b)$
\(\overrightarrow{AK}=(a-1,b-4)\)
$K$ đối xứng với $A$ qua $H$, tương đương với $K$ đối xứng với $A$ qua trục $BC$
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AK}\perp \overrightarrow{BC}\\ d(A,BC)=d(K,BC)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=3(a-1)+(-1)(b-4)=0\\ \frac{|1+3.4-7|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|a+3b-7|}{\sqrt{1^2+3^2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a-b=-1\\ 6=|a+3b-7|\end{matrix}\right.\). Vì \(K\neq A\) nên từ hệ ta tìm được \(a=\frac{-1}{5}, b=\frac{2}{5}\)
Vậy \(K(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})\)
b)
Đtr tâm A tiếp xúc với BC \(\Leftrightarrow R_A=d(A,BC)=6\)
Khi đó PTĐtr là:
\((x-1)^2+(y-4)^2=R_A^2=36\)
