Question

Bài 3.  Cho n là số nguyên. Chứng minh rằng:

a, \(\left(n^3-n\right)⋮3\)

b, \(\left(n^5-n\right)⋮30\)

Answer 1

a/ \(n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) 

Ta có : \(n\in Z\Leftrightarrow n-1;n;n+1\in Z\) và là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Leftrightarrow n^3-n⋮6\left(đpcm\right)\)

b/ \(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Ta có : \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

+) Nếu \(n=5k\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+1\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+2\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+3\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+4\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\Leftrightarrow A⋮30\)

Vậy...

Answer 2

a: \(n^3-n\)

\(=n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\)

Vì n-1, n và n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

b: Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮30\)