Question

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = 2x^2 + 4y^2 + 6x - 4y + 2024 \).

Bài 2. Cho \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \) và \( a + b + c = 2022 \). Tính \( a, b, c \).

Bài 3. Cho tam giác \( ABC \) vuông ở \( A \). Gọi \( E, G, F \) lần lượt là trung điểm của \( AB, BC, AC \). Từ \( E \) kẻ đường thẳng song song với \( BF \), đường thẳng này cắt \( GF \) tại \( I \).
a) Chứng minh tứ giác \( BEIF \) là hình bình hành.
b) Tìm điều kiện của tam giác \( ABC \) để tứ giác \( AGCI \) là hình vuông.

Answer 1

Bài 1:

\(M=2x^2+4y^2+6x-4y+2024\)

\(=2x^2+6x+\dfrac{9}{2}+4y^2-4y+1+2018,5\)

\(=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(2y-1\right)^2+2018,5>=2018,5\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{3}{2}=0\\2y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

=>\(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)

=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có: a=b=c

mà a+b+c=2022

nên \(a=b=c=\dfrac{2022}{3}=674\)

Answer 2

a. xét tứ giác BEIF có:

BF // EI (gt); FI // BE (vì GF là đường trung bình của △ABC)

=> tứ giác BEIF là hình bình hành

b. vì GF là đường trung bình của △ABC

\(\Rightarrow GF=\dfrac{1}{2}AB=EB\left(1\right)\)

mà BE = FI (hình bình hành BEIF) (2)

TỪ (1) (2) => GF = FI

trong △ABC có GB = GC và FA = FC

=> GF là đường trung bình của △ABC

=> GF // AB => \(\widehat{BAC}=\widehat{GFC}=90^0\left(\text{đồng vị}\right)\)

xét tứ giác AGCI có:

FA = FC (gt); FG = FI (cmt)

=> tứ giác AGCI là hình bình hành

lại có \(\widehat{GFC}=90^0\left(cmt\right)\)

=> hình bình hành AGCI là hình thoi

để hình thoi AGCI là hình vuông thì \(\widehat{AGC}=90^0\)

=> AG là đường cao của △ABC; mà AG là đường trung tuyến của △ABC

=> △ABC là △ cân tại A

vậy để tứ giác AGCI là hình vuông thì △ABC là △ vuông cân tại A