Question

1.Cho x+y+z=0. CMR:

a) \(5\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(x^5+y^5+z^5\right)\)

b) \(x^7+y^7+z^7=7xyz\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

c) \(10\left(x^7+y^7+z^7\right)=7\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x^5+y^5+z^5\right)\)

d) \(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

2. Tìm n∈ N để biểu thức sau là số nguyên tố 

a) \(A=n^3-4n^2-4n-1\)

b) \(B=n^3-6n^2+9n-2\)

c) \(C=n^{1975}+n^{1973}+1\)

Answer 1

Vì bài dài nên mình sẽ tách ra nhé.

1a. Ta có:

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=-2(xy+yz+xz)$

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)=-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$=-3(-z)(-x)(-y)=3xyz$

$\Rightarrow \text{VT}=-30xyz(xy+yz+xz)(1)$

------------------------

$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y)$

$=[(x+y)^2-2xy][(x+y)^3-3xy(x+y)]-x^2y^2(x+y)$

$=(z^2-2xy)(-z^3+3xyz)+x^2y^2z$

$=-z^5+3xyz^3+2xyz^3-6x^2y^2z+x^2y^2z$

$=-z^5+5xyz^3-5x^2y^2z$

$\Rightarrow 6(x^5+y^5+z^5)=6(5xyz^3-5x^2y^2z)$

$=30xyz(z^2-xy)=30xyz[z(-x-y)-xy]=-30xyz(xy+yz+xz)(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

Answer 2

1b.

$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2$

$=(z^2-2xy)^2-2x^2y^2=z^4+2x^2y^2-4xyz^2$

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=-z^3+3xyz$

Do đó:

$x^7+y^7=(x^4+y^4)(x^3+y^3)-x^3y^3(x+y)$

$=(z^4+2x^2y^2-4xyz^2)(-z^3+3xyz)+x^3y^3z$

$=7x^3y^3z-14x^2y^2z^3+7xyz^5-z^7$

$\Rightarrow \text{VT}=7x^3y^3z-14x^2y^2z^3+7xyz^5$

$=7xyz(x^2y^2-2xyz^2+z^4)$

$=7xyz(xy-z^2)$

$=7xyz[xy+z(x+y)]^2=7xyz(xy+yz+xz)^2$

$=7xyz[x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)]$

$=7xyz(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$ (đpcm)

 

 

Answer 3

1c. Sử dụng kq phần a,b:

\(10(x^7+y^7+z^7)=70xyz(xy+yz+xz)^2\)

\(=-35xyz(xy+yz+xz).-2(xy+yz+xz)=-35xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\)

\(=\frac{7}{6}.-30xyz(xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2)=\frac{7}{6}.6(x^5+y^5+z^5).(x^2+y^2+z^2)\)

\(=7(x^5+y^5+z^5)(x^2+y^2+z^5)\)

(đpcm)

1d. Áp dụng kq phần a
$6(x^5+y^5+z^5)=-30xyz(xy+y+xz)=15xyz.-2(xy+yz+xz)=15xyz(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$ (đpcm)

 

Answer 4

2a. Có vô số số tự nhiên $n$ để $A$ nguyên tố. Bạn xem lại đề xem có viết sai bt không 

2b.

$B=n(n^2-6n+9)-2=n(n-3)^2-2$
Vì $n, n-3$ khác tính chẵn lẻ nên chắc chắn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow n(n-3)^2$ chẵn

$\Rightarrow B$ chẵn. Để $B$ nguyên tố thì $B=2$

$\Leftrightarrow n^3-6n^2+9n=4$

Giải pt ta thu được $n=1$ hoặc $n=4$

 

Answer 5

2c.

\(C=(n^{1975}-n)+(n^{1973}-n^2)+n^2+n+1\)

\(=n(n^{1974}-1)+n^2(n^{1971}-1)+n^2+n+1\)

\(=n[(n^3)^{658}-1]+n^2[(n^3)^{657}-1]+n^2+n+1\)

\(=n(n^3-1).A+n^2(n^3-1).B+n^2+n+1\) với $A,B$ là 2 đa thức dương

$=(n^3-1)(nA+n^2B)+(n^2+n+1)$

$=(n^2+n+1)[(n-1)(nA+n^2B)+1]$

Với $n=1$ thì $C=3$ nguyên tố (tm)

Với $n>1$ thì $n^2+n+1>2$ và $(n-1)(nA+n^2B)>2$

Do đó $C$ không là snt.

Vậy $n=1$

Answer 6

.