1. Cho △ABC cân tại A có \(\widehat{A}=20^o\). Trên cạnh AB lấy D sao cho AD = BC. Tính các góc của △ADC
2. Cho △ABC có \(\widehat{B}=60^o\), AB = 7cm, BC = 15cm. Trên BC lấy D sao cho \(\widehat{BAD}=60^o\). Gọi H là trung điểm BD
a) HD = ?
b) AC = ?
c) △ABC có vuông không?
3. Cho △ABC có \(\widehat{A}=120^o\), đường phân giác AD. Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC.
a) Chứng minh △DEF đều
b) Lấy K nằm giữa E và B, I nằm giữa F và C sao cho EK = FI. Chứng minh △DKI cân tại D
c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M. Chứng minh △AMC đều
d) DF = ? nếu AD = 4cm
4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC. Qua trung điểm D của cạnh BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC cắt AB và AC lần lượt tại H và K
a) Chứng minh tam giác HAK cân
b) Chứng minh BH = CK
c) Tính AH và BH, biết AB = 9cm, AC = 12cm
5. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của cạnh BC tại I. Qua I kẻ các đường thẳng vuông góc với AB, AC lần lượt tại H và K. Chứng minh \(AK=\frac{AC+AB}{2};CK=\frac{AC-AB}{2}\)
Bài 2:
a) Xét \(\Delta ABD\) có:
\(\widehat{ABD}+\widehat{BAD}+\widehat{ADB}=180^0\) (định lí tổng 3 góc trong một tam giác).
=> \(60^0+60^0+\widehat{ADB}=180^0\)
=> \(120^0+\widehat{ADB}=180^0\)
=> \(\widehat{ADB}=180^0-120^0\)
=> \(\widehat{ADB}=60^0.\)
+ Xét \(\Delta ABD\) có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=\widehat{BAD}=60^0\)
=> \(\Delta ABD\) là tam giác đều.
=> \(AB=AD=BD\) (tính chất tam giác đều).
Mà \(AB=7\left(cm\right)\left(gt\right)\)
=> \(AB=AD=BD=7\left(cm\right).\)
+ Vì H là trung điểm của \(BD\left(gt\right)\)
=> \(BH=HD=\frac{1}{2}BD\) (tính chất trung điểm).
=> \(BH=HD=\frac{1}{2}.7\)
=> \(BH=HD=3,5\left(cm\right).\)
=> \(HD=3,5\left(cm\right).\)
b) Vì H là trung điểm của \(BD\left(gt\right)\)
=> \(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABD.\)
+ Vì \(\Delta ABD\) là tam giác đều (cmt).
Có \(AH\) là đường trung tuyến (cmt).
=> \(AH\) đồng thời là đường cao của \(\Delta ABD.\)
=> \(AH\perp BD.\)
+ Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\left(cmt\right)\) có:
\(AH^2+BH^2=AB^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(AH^2+\left(3,5\right)^2=7^2\)
=> \(AH^2=7^2-\left(3,5\right)^2\)
=> \(AH^2=49-12,25\)
=> \(AH^2=36,75.\)
=> \(AH=\sqrt{36,75}\left(cm\right)\) (vì \(AH>0\)).
Ta có: \(BH+CH=BC.\)
=> \(3,5+CH=15\)
=> \(CH=15-3,5\)
=> \(CH=11,5\left(cm\right).\)
+ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\left(cmt\right)\) có:
\(AC^2=AH^2+CH^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(AC^2=\left(\sqrt{36,75}\right)^2+\left(11,5\right)^2\)
=> \(AC^2=36,75+132,25\)
=> \(AC^2=169\)
=> \(AC=13\left(cm\right)\) (vì \(AC>0\)).
c) Xét \(\Delta ABC\) có:
\(AB^2+AC^2=7^2+13^2\)
=> \(AB^2+AC^2=49+169\)
=> \(AB^2+AC^2=218\) (1).
\(BC^2=15^2\)
=> \(BC^2=225\) (2).
Từ (1) và (2) => \(AB^2+AC^2\ne BC^2\left(218\ne225\right).\)
=> \(\Delta ABC\) không phải là tam giác vuông (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
- Trên đoạn thẳng AH lấy điểm K sao cho tạo với hai điểm B, C \(\Delta AKC\) đều .
- Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có : AH là đường cao ( gt )
=> AH là đường phân giác .
=> \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}20^o=10^o\)
- Xét \(\Delta ABC\) cân tại A .
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( Tính chất tam giác cân )
- Ta có : \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^o-20^o}{2}=80^o\)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ABK}+\widehat{BKC}=\widehat{ABK}+60^o\) ( \(\widehat{BKC}\) là 1 góc của tam giác đều nên bằng \(60^o\) )
=> \(\widehat{ABK}=20^o\)
- Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ACD\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{ABK}=\widehat{DAC}\left(=20^o\right)\\BK=AD\left(=BC\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta ABK=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)
=> \(\widehat{BAK}=\widehat{ACD}\) ( góc tương ứng )
=> \(\widehat{ACD}=10^o\)
- Ta có : \(\widehat{ACD}+\widehat{CAD}+\widehat{CDA}=180^o\) ( Tính chất tam giác )
=> \(10^o+20^o+\widehat{CDA}=180^o\)
=> \(\widehat{CDA}=150^o\)
- Xét \(\Delta ADC\) có : AD = DC ( gt )
=> \(\Delta ADC\) là tam giác cân .
=> \(\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=20^o\)
- Ta có : \(\widehat{DAC}+\widehat{DCA}+\widehat{ADC}=180^o\)
=> \(\widehat{ADC}=140^o\) .
