Ôn tập Tam giác

1. Tổng ba góc trong một tam giác

- Định lí: Tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^0\).

Ví dụ:

+) Xét trong tam giác \(ABC\) ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

+) Xét trong tam giác \(MNP\) ta có \(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^0\)

- Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A}=90^0\) ta nói tam giác \(ABC\) vuông (tại \(A\)).

           \(BC\) là cạnh huyền, \(AB,AC\) là các cạnh góc vuông.

- Định lí: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

Định lí này có được nhờ áp dụng định lí "Tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^0\)".

Ví dụ:

+) Tam giác \(DEF\) có \(\widehat{E}=90^0\) thì \(\widehat{D}+\widehat{F}=90^0\)

+) Tam giác \(HIK\) vuông tại \(H\) thì \(\widehat{I}+\widehat{K}=90^0\)

- Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.

Ví dụ: Trong hình vẽ sau, góc \(ACx\) là góc ngoài đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\):

- Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.

Ví dụ: Trong hình vẽ trên, \(\widehat{ACx}=\widehat{A}+\widehat{B}\)

- Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

2. Hai tam giác bằng nhau

- Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Ví dụ: Nếu \(\Delta ABC=\Delta DEF\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}AB=DE;AC=DF;BC=EF\\\widehat{A}=\widehat{D};\widehat{B}=\widehat{E};\widehat{C}=\widehat{F}\end{matrix}\right.\)

- Kí hiệu: Người ta quy ước khi kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác, các chữ cái chỉ tên các đỉnh tương ứng được viết theo đúng thứ tự.

Ví dụ: \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) thì \(\widehat{A}=\widehat{A'};\widehat{B}=\widehat{B'};\widehat{C}=\widehat{C'}\)

3. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác (cạnh - cạnh - cạnh) (c.c.c)

- Tính chất: Nếu ba cạnh của một tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của một tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ: Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) có:

          \(AB=A'B'\)

          \(BC=B'C'\)

          \(AC=A'C'\)

 thì \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) (c.c.c)

4. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác (cạnh - góc - cạnh) (c.g.c)

- Tính chất: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ: Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) có:

         \(AB=A'B'\)

         \(\widehat{B}=\widehat{B'}\)

         \(BC=B'C'\)

       thì \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) (c.g.c)

- Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Hệ quả này chính là được suy ra từ trường hợp cạnh - góc - cạnh nêu trên.

Ví dụ: Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có:

          \(\widehat{A}=\widehat{D}=90^0\)

          \(AB=DE\)

          \(AC=DF\)

      thì \(\Delta ABC=\Delta DEF\) 

5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác (góc - cạnh - góc) (g.c.g)

- Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề cạnh ấy của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề cạnh ấy của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ: Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) có:

         \(BC=B'C'\)

         \(\widehat{B}=\widehat{B'}\)

         \(\widehat{C}=\widehat{C'}\)

   thì \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) (g.c.g)

- Hệ quả:

+ Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

+ Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

6. Tam giác cân

- Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) có \(AB=AC\) ta nói: Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

        \(AB,AC\) là các cạnh bên, \(BC\) là cạnh đáy;

        \(\widehat{A}\) là góc ở đỉnh, \(\widehat{B},\widehat{C}\) là các góc ở đáy.

- Tính chất của tam giác cân:

+ Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Ví dụ: Nếu tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) thì \(\widehat{B}=\widehat{C}\).

+ Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ: Nếu tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B}=\widehat{C}\)  thì tam giác \(ABC\) cân (tại \(A\))

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A}=90^0\) và \(AB=AC\) thì ta nói: Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) có \(AB=BC=CA\) thì ta nói Tam giác \(ABC\) là một tam giác đều

- Tính chất: 

+ Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng \(60^0\).

+ Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

+ Nếu một tam giác cân có một góc bằng \(60^0\) thì tam giác đó là tam giác đều.

7. Định lý Py-ta-go

- Nội dung định lí Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng của các bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì ta có: \(AB^2+AC^2=BC^2\)

- Định lí Py-ta-go đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ: Nếu tam giác \(ABC\) có \(AB^2+AC^2=BC^2\) thì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

8. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông:

- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.