hoàng linh đan
HT.Phong (9A5)
11 tháng 6 lúc 21:22

a) \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{x-4}\right)\left(x-4\right)\)

\(=\left[\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]\left(x-4\right)\)

\(=\left[\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]\left(x-4\right)\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}+2+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\left(x-4\right)\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+3}{x-4}\cdot\left(x-4\right)\)

\(=x-\sqrt{x}+3\)

b) \(x=7-2\sqrt{6}=\left(\sqrt{6}\right)^2-2\cdot\sqrt{6}\cdot1+1^2=\left(\sqrt{6}-1\right)^2\)

Thay vào P ta có:

\(P=\left(7-2\sqrt{6}\right)-\sqrt{\left(\sqrt{6}-1\right)^2}+3=7-2\sqrt{6}-\sqrt{6}+1+3\)

\(=11-3\sqrt{6}\) 

c) \(P=x-\sqrt{x}+3=x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\forall x\ge0\) 

Dấu "=" xảy ra khi: \(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\left(tm\right)\)

Vậy: ... 

Bình luận (0)
Toru
11 tháng 6 lúc 21:33

a) Với $x\ge0;x\ne4$, ta có:

\(P=\left(\frac{\sqrt x}{\sqrt x+2}+\frac{1}{\sqrt x-2}+\frac{1}{x-4}\right)(x-4)\\=\left[\frac{\sqrt x(\sqrt x-2)}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}+\frac{\sqrt x+2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}+\frac{1}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}\right](x-4)\\= \frac{x-2\sqrt x+\sqrt x+2+1}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}.(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)\\=x-\sqrt x+3\)

b) Với \(x=7-2\sqrt 6\), thay vào P ta được:

\(P=7-2\sqrt 6-\sqrt{7-2\sqrt6 }+3\\=10-2\sqrt6-\sqrt{(\sqrt6)^2-2.\sqrt6.1+1^2}\\=10-2\sqrt6-\sqrt{(\sqrt6-1)^2}\\=10-2\sqrt6-|\sqrt6 -1|\\=10-2\sqrt6 -(\sqrt 6-1)(\text{vì }\sqrt 6>1)\\=11-3\sqrt 6\)

c) Ta có: 

\(P=x-\sqrt x+3\\=\left[(\sqrt x)^2-2.\sqrt x.\frac12+\left(\frac12\right)^2\right]-\frac14+3\\=\left(\sqrt x-\frac12\right)^2+\frac{11}{4}\)

Ta thấy: 

\(\left(\sqrt x-\frac12\right)^2\ge 0\forall x\ge 0\\\Rightarrow \left(\sqrt x-\frac12\right)^2+\frac{11}{4}\ge \frac{11}{4}\forall x\ge 0\\\Rightarrow P\ge\frac{11}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\sqrt x-\frac12=0\Leftrightarrow \sqrt x=\frac12\)

\(\Rightarrow x=\frac14\) (tm ĐKXĐ)

Vậy \(P_{min}=\frac{11}{4}\) tại \(x=\frac14\).

$\text{#}Toru$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
hello
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Huyền
Xem chi tiết
Trang Lương
Xem chi tiết
Tho Vo
Xem chi tiết
huy dương
Xem chi tiết
Trần Ngọc Liên
Xem chi tiết
duong hong anh
Xem chi tiết
Thùy Linh
Xem chi tiết
nguyễn Ngọc Thùy Dương
Xem chi tiết
Uzumaki Naruto
Xem chi tiết