Question

Answer 1

13: n^3-n=n(n^2-1)

=n(n-1)(n+1)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 3!=6

Answer 2

Bài 13:

Đặt $A=n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$

Nếu $n$ chẵn thì hiển nhiên $A\vdots 2$

Nếu $n$ lẻ thì $n-1$ chẵn $\Rightarrow A\vdots 2$

Vậy $A\vdots 2$ với mọi $n$ nguyên (1)

Mặt khác:
Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $A\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $n-1\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3$

Vậy $A\vdots 3$ với mọi $n$ nguyên (2)

Từ $(1), (2)$ mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

Answer 3

Bài 14:

Viết lại bài toán: Cho $a,b$ nguyên thỏa mãn $a+b\vdots 3$. CMR $a^3+b^3\vdots 9$.

------------------------------

Lời giải:

Vì $a+b\vdots 3$ nên đặt $a+b=3k$ với $k$ nguyên. Khi đó

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(3k)^3-3ab.3k=27k^3-9kab=9(3k^3-abk)\vdots 9$ 

Ta có đpcm.

Answer 4

Bài 15:

Bài toán viết lại thành: Cho $a,b$ nguyên thỏa mãn $a^3+b^3\vdots 3$. CMR $a+b\vdots 3$

---------------------------------

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử $a+b\not\vdots 3$. Tức là $(a+b,3)=1$

Ta có: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\vdots 3$

$\Rightarrow a^2-ab+b^2\vdots 3$ (do $(a+b,3)=1$)

$\Rightarrow (a+b)^2-3ab\vdots 3$

$\Rightarrow (a+b)^2\vdots 3$

$\Rightarrow a+b\vdots 3$ (vô lý do $(a+b,3)=1$)

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $a+b\vdots 3$.