Violympic toán 8

Lời giải:

a)
Để pt luôn có nghiệm thì \(\Delta'=1^2-m\geq 0\Leftrightarrow 1-m\geq 0\Leftrightarrow m\leq 1\)

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt ( chưa xét tính phân biệt) thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2\end{matrix}\right.(*)\)

b) Nếu pt có hai nghiệm cùng là số âm thì \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow 2< 0\) (vô lý)

Do đó pt không thể có hai nghiệm cùng là số âm.

c) Sử dụng điều kiện $(*)$

Nếu \(x_1-2x_2=5\Leftrightarrow 3x_1-2(x_1+x_2)=5\)

\(\Leftrightarrow 3x_1-4=5\Rightarrow 3x_1=9\Rightarrow x_1=3\)

\(\Rightarrow x_2=2-x_1=2-3=-1\)

Khi đó: \(x_1x_2=3(-1)=-3\Leftrightarrow m=-3\) (t/m)

Vậy \(m=-3\)

x^2 -2x +m=0

x^-2x+1=1-m

(x-1)^2=1-m

a)vt >=0=>vp>=0=>1-m>=0

m<=1

b)dk(a)<=>|x-1|=can(1-m)

x1=1+can(1-m)

x2=1-can(1-m)

co can (1-m)>=0=>x>=0 moi m theo dk (a)

c)

x1-2x2=5

(x1+x2)-3x2=5

<=>3x2=-3

x2=-1

kq(b) x1>=0

=>x2=1-can(1-m)

<=>can(1-m)=2

1-m=4

m=-3

f

Không có điều kiện \(x\in Z\)không có thì bài này phải giải theo phương pháp GTLN-GTNN rồi tìm khoảng giá trị của y

Lời giải:

Để \(\frac{4x+3}{x^2+1}\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow 4x+3\vdots x^2+1(1)\)

\(\Rightarrow x(4x+3)\vdots x^2+1\)

hay \( 4x^2+3x\vdots x^2+1\)

\(\Leftrightarrow 4(x^2+1)+3x-4\vdots x^2+1\)

\(\Leftrightarrow 3x-4\vdots x^2+1\)

\(\Rightarrow 12x-16\vdots x^2+1(*)\)

Từ \((1)\Rightarrow 12x+9\vdots x^2+1(**)\)

\((**)-(*)\Rightarrow 25\vdots x^2+1\Rightarrow x^2+1\in \text{Ư}(25)\)

Mà \(x^2+1\geq 1, \forall x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x^2+1\in\left\{1;5;25\right\}\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{0;4;24\right\}\)

Vì \(x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x\in\left\{0;\pm 2\right\}\)

Vậy.........

đề bài sai (không phù hợp lớp 8)

Lời giải:

Đặt \(A=a^2+b^2+c^2+abc\)

Dựa theo điều kiện \(a+b+c=0\) ta suy ra:

\(A=a^2+b^2+(-a-b)^2+ab(-a-b)\)

\(=a^2+b^2+(a+b)^2-ab(a+b)=2(a+b)^2-2ab-ab(a+b)\)

\(A=2(a+b)^2-ab(a+b+2)(1)\)

Vì \(a,b\leq 2\Rightarrow (a-2)(b-2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow ab+4\geq 2(a+b)\Leftrightarrow ab\geq 2(a+b-2)(*)\)

Do \(a+b+2=2-c\geq 0\) nên nhân cả hai vế của $(*)$ với \(a+b+2\) thì BĐT không đổi chiều. Tức là:

\(ab(a+b+2)\geq 2(a+b-2)(a+b+2)=2[(a+b)^2-4](2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow A\leq 2(a+b)^2-2[(a+b)^2-4]=8\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi ít nhất một trong 3 số $a,b,c$ có một số bằng $2$

\(\Leftrightarrow-\left(4x^2-y^2-7\right)^2=0\)

SURPRISE MOTHERFUKA !!

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

đặt \(z=y^2+7;y\in N;z\in Z;z\ge7\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4z\right)^2=17\left(x^4+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+8x^2z+16z^2=17x^4+17z^2\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2z+z^2=0\Leftrightarrow\left(4x-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2=z\Leftrightarrow y^2+7=4x^2\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-y^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x\right)^2=16\\y^2=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x,y,\in N;\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\)

Gọi A₁; A₂; A₃; ...; A₁₁ là 11 số cần tìm và

S = A ₁ + A ₂ + ... + A ₁₁ ( với S \(\in\) Z)

Ta có:

A₁ = (S - A₁)² / S²

A₂ = (S - A₂)² / S²

....

A₁₁ = (S - A₁₁) / S²

Cộng các vế lại ta đc: \(\dfrac{S}{11.S^2}\)

Xét :

TH1: S \(\ne\) 0 \(\Rightarrow\) 11.S = 1

\(\Rightarrow\) S = \(\dfrac{1}{11}\) mà S \(\in\) Z (loại)

TH2: S = 0 \(\Rightarrow\) A₁ + A₂ + ...+ A₁₁ = 0

Mà : A₁ = (S - A₁)² / 0

A₂ = (S - A₂)² / 0

^.........

A₁₁ = (S - A₁₁)² / 0

\(\Rightarrow\) A₁ + A₂ + ... + A₁₁ / 0

thì A₁ = A₂ = A₃ = ... = A₁₁ = 0

Vậy 11 số cần tìm đều là 0 thì mỗi số bằng bình phương của tổng 10 số còn lại.

Chúc bn học tốt

Lời giải:

Dựa vào điều kiện đề bài, ta dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(y=0, x=1\)

Như vậy, ta sẽ đi chứng minh \(A=x^2+y^2\leq 1\)

Thật vậy.

Xét hiệu:

\((x^3+y^3)-(x-y)(x^2+y^2)=x^3+y^3-(x^3+xy^2-x^2y-y^3)\)

\(=2y^3+x^2y-xy^2=y[2y^2+x(x-y)]\)

Vì \(x>0, y\geq 0\Rightarrow x-y=x^3+y^3>0\Rightarrow x>y\)

Từ \(x>y\geq 0\Rightarrow y[2y^2+x(x-y)]\geq 0\)

Do đó: \((x^3+y^3)-(x-y)(x^2+y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x^3+y^3)-(x^3+y^3)(x^2+y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x^3+y^3)[1-(x^2+y^2)]\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 1-(x^2+y^2)\geq 0\Leftrightarrow A=x^2+y^2\leq 1\)

Vậy \(A_{\max}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(y=0, x=1\)

cách đổi hình nền kiểu gì vậy ?

25 ban oi

Lời giải:

Đặt \(\left(\frac{a}{b^2}, \frac{b}{c^2}, \frac{c}{a^2}\right)=(x,y,z)\)

\(\Rightarrow xyz=\frac{abc}{a^2b^2c^2}=\frac{1}{abc}=1\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)-1+z(x+y-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)+z(x+y-1-xy)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)-z(x-1)(y-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(1-z)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a-b^2}{b^2}.\frac{b-c^2}{c^2}.\frac{a^2-c}{a^2}=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b^2)(b-c^2)(c-a^2)=0\)

Do đó ta có đpcm.

A=a^7 -a =a(a^6 -1) =a(a^3 -1)(a^3+1) =(a-1).a.(a+1)[a^2+a+1)(a^2-a+1) ]

\(A=A_0.A_1\)

\(A_1=\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=\left[\left(a^2-4\right)+\left(a+5\right)\right]\left[\left(a^2-9\right)+\left(-a+10\right)\right]\)

\(A_1=\left[\left(a^2-4\right)\left(a^2-9\right)\right]+\left[\left(a^2-4\right)\left(-a+10\right)+\left(a+5\right)\left(a^2-a+1\right)\right]=A_2+A_3\)

\(A_3=\left(a^2-4\right)\left(-a+10\right)+\left(a+5\right)\left(a^2-a+1\right)=-a^3+10a^2+4a-40+a^3-a^2+a+5a^2-5a+5=14a^2-35\)\(A_3=7\left(2a^2-5\right)\)

\(A=A_0.A_1=A_0\left(A_2+A_3\right)=A_0.A_2+A_0.A_3\)

A3 : chia hết cho 7 hiển nhiên => \(A_0.A_3⋮7\)

\(A_0.A_2=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)\left(a^2-9\right)\)

\(A_0A_2=\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a-1\right)\left(a\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\)

A0.A2 là tích 7 số nguyên liên tiếp => A0.A2 chia hết cho 7

=>\(A⋮7\) =>dpcm

Ủa cái này là Fermat nhỏ mà.

Cách khác:
Xét \(a\equiv0\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^7-a⋮7\)

Xét \(a\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^7-a\equiv1-1\equiv0\left(mod7\right)\)

Xét \(a\equiv2\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^7-a\equiv2.2^6-2\equiv2-2\equiv0\left(mod7\right)\)

......................................................................

\(\Rightarrow a^7-a⋮7\)