Cho số nguyên tố p >3 biết rằng có số tự nhiên n / trong cách viết thập phân của số p^n ( p mũ n ấy ) có đúng 20 chứ số . Cmr trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Cho số nguyên tố p >3 biết rằng có số tự nhiên n / trong cách viết thập phân của số p^n ( p mũ n ấy ) có đúng 20 chứ số . Cmr trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử không tồn tại 3 chữ số nào trong $p^n$ giống nhau.
Đặt \(p^n=\overline{a_1a_2...a_{20}}\)
Vì \(0\leq a_1,a_2,...,a_{20}\leq 9\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[ \frac{20}{10}\right]=2\) số giống nhau.
Kết hợp với điều đã giả sử suy ra $p^n$ là một số gồm $20$ chữ số, trong đó luôn có đôi một hai số bằng nhau và bằng các số trải từ $0$ đến $9$
Khi đó: \(S(p^n)=2(0+1+2+..+9)=90\vdots 3\) trong đó \(S(p^n)\) là tổng các chữ số của $p^n$
Vì \(S(p^n)\vdots 3\Rightarrow p^n\vdots 3\). Điều này hoàn toàn vô lý do \(p>3, p\in\mathbb{P}\)
Do đó giả sử sai. Tức là tồn tại ít nhất 3 số trong 20 chữ số của $p^n$ giống nhau.
Tính tích của: 2×2×2×2×......x2×2×2×2(7171 chữ số 2)
Tích của 2.2.2.2.2.....2.2.2.2. ( 7171 chữ số 2 ) là:
\(2^{7171}\)
Theo mình là vậy!!!
Cho biểu thức \(A=\frac{1}{3+2a+b+ab}+\frac{1}{3+2b+c+bc}+\frac{1}{3+2c+a+ac}\) .Biết \(a,b,c\) là các số thực làm cho $A$ xác định và \(ab+bc+ac+a+b+c+abc=0\).Tính gía trị của A.
Mn giúp mk với, mk đang cần gấp lắm sắp thi hsg rồi.
Lời giải:
Từ \(a+b+c+ab+bc+ac=0\)
\(\Rightarrow a+b+c+ab+bc+ac+abc+1=1\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=1\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+1=x\\ b+1=y\\ c+1=z\end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1\)
Biểu thức trở thành:
\(A=\frac{1}{(a+2)+a+b+ab+1}+\frac{1}{(b+2)+b+c+bc+1}+\frac{1}{(c+2)+c+a+ac+1}\)
\(A=\frac{1}{(a+2)+(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+2)+(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+2)+(c+1)(a+1)}\)
\(A=\frac{1}{x+1+xy}+\frac{1}{y+1+yz}+\frac{1}{z+1+zx}\)
\(A=\frac{z}{xz+z+xyz}+\frac{zx}{yxz+xz+yz.xz}+\frac{1}{z+1+xz}\)
hay \(A=\frac{z}{xz+z+1}+\frac{xz}{1+xz+z}+\frac{1}{z+1+xz}\) (thay \(xyz=1\))
\(\Leftrightarrow A=\frac{z+xz+1}{xz+z+1}=1\)
Vậy \(A=1\)
\(a^2+3a=b^2+3b=2\). Tính \(a+b=?\)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\z+y\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}\ge\dfrac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}}{2\sqrt{xz}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}\ge2y\) (1)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}\ge2z\left(2\right)\\\dfrac{\left(y+x\right)\left(z+x\right)}{z+y}\ge2x\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1),(2),(3)
\(\Rightarrow P\ge2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow P\ge2.3\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(x=y=z\)
Vậy Min P là 6 khi \(x=y=z\)
Otasaka Yu: Cosi nhưng đừng là ở dưới đó.... (it's same some mô típ i've read and seen Manga and Anime Japan ( ͡° ͜ʖ ͡°))
\(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{x+z}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{x+y}\ge2\sqrt{\left(y+z\right)^2}=2\left(y+z\right)\)
Tương tự rồi cộng theo vế:
\(2P\ge2\left(x+y+z\right)\Leftrightarrow P\ge x+y+z=3\)
\("=" <=> x=y=z=1\)
It's A jOke. DoN't TriGgeRed my dude !
anh Tú ơi cái này là em hỏi mẹ em để giải giúp anh đấy
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
\(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{z+x}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\ge2\left(x+y\right)\)
\(\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{x+y}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{y+z}\ge2\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow2P\ge4\left(x+y+z\right)=4\times3=12\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 , xảy ra khi và chỉ khi
\(x=z=y=1\)
Cho tam giác ABC, 3 đường phân giác AM, BN, CP cắt nhau tại O. 3 cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5
a) Tính MC, biết BC = 18cm.
b) Tính AC, biết NC - NA = 3cm
c) Tính tỉ số \(\dfrac{OP}{OC}\)
d) CM: \(\dfrac{MB}{MC}\).\(\dfrac{NC}{NA}\).\(\dfrac{PA}{PB}\)=1 và \(\dfrac{1}{AM}\)+\(\dfrac{1}{BN}\)+\(\dfrac{1}{CP}\)> \(\dfrac{1}{BC}\)+\(\dfrac{1}{CA}\)+\(\dfrac{1}{AB}\)
Lời giải:
$AB,BC,AC$ tỉ lệ với $4,7,5$ \(\Leftrightarrow \frac{AB}{4}=\frac{BC}{7}=\frac{CA}{5}(*)\)
a) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với \((*)\) ta có:
\(\frac{MC}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{MC}{BM+MC}=\frac{5}{4+5}\Leftrightarrow \frac{MC}{BC}=\frac{5}{9}\)
\(\Rightarrow MC=\frac{5}{9}BC=\frac{5}{9}.18=10\) (cm)
b) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với \((*)\) ta có:
\(\frac{NC}{NA}=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{4}\)\(\Leftrightarrow \frac{NC}{7}=\frac{NA}{4}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{NC+NA}{7+4}=\frac{NC}{7}=\frac{NA}{4}=\frac{NC-NA}{7-4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{AC}{11}=\frac{3}{3}=1\Rightarrow AC=11\) (cm)
c)
Vì $AO$ là phân giác góc $PAC$, $BO$ là phân giác góc $PBC$ nên áp dụng công thức đường phân giác:
\(\frac{OP}{OC}=\frac{AP}{AC}=\frac{BP}{BC}\)
AD tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{OP}{OC}=\frac{AP}{AC}=\frac{BP}{BC}=\frac{AP+BP}{AC+BC}=\frac{AB}{AC+BC}\)
Theo \((*)\Rightarrow AC=\frac{5}{4}AB; BC=\frac{7}{4}AB\)
\(\frac{OP}{OC}=\frac{AB}{AC+BC}=\frac{AB}{\frac{5}{4}AB+\frac{7}{4}AB}=\frac{AB}{3AB}=\frac{1}{3}\)
d) Áp dụng công thức đường phân giác:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\\ \frac{NC}{NA}=\frac{BC}{AB}\\ \frac{PA}{PB}=\frac{AC}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{BC}=1\)
(đpcm)
Chứng minh \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}\)
Kẻ \(MH\perp AB, MK\perp AC, CL\perp AB\)
Ta có bổ đề sau: \(\sin (2\alpha)=2\sin \alpha\cos \alpha\)
Chứng minh :
Thật vậy, xét một tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$, góc \(\angle ACB=\alpha\)
Khi đó: \(AM=MB=MC=\frac{BC}{2}\Rightarrow \triangle AMC\) cân tại $M$
\(\Rightarrow \angle MAC=\angle MCA=\alpha\)
\(\Rightarrow \angle HMA=\angle MAC+\angle MCA=2\alpha\)
\(\Rightarrow \sin 2\alpha=\sin HMA=\frac{HA}{MA}=\frac{HA}{\frac{BC}{2}}=\frac{2HA}{BC}\) (1)
Lại có: \(\sin \alpha=\sin \angle ACB=\frac{AH}{AC}\)
\(\cos \alpha=\frac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow \sin \alpha\cos \alpha=\frac{AH}{AC}.\frac{AC}{BC}=\frac{AH}{BC}\) (2)
Từ (1); (2) suy ra \(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha\) (đpcm)
------------------------------
Áp dụng vào bài toán:
Ta có: \(\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(S_{ABM}+S_{AMC}=S_{ABC}\)
\(\Leftrightarrow \frac{MH.AB}{2}+\frac{MK.AC}{2}=\frac{CL.AB}{2}\)
\(\Leftrightarrow AB.\sin \frac{A}{2}.AM+\sin \frac{A}{2}.AM.AC=\sin A.AC.AB\)
\(\Leftrightarrow AM=\frac{\sin A.AB.AC}{\sin \frac{A}{2}.AB+\sin \frac{A}{2}.AC}=\frac{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}.AB.AC}{\sin \frac{A}{2}.AB+\sin \frac{A}{2}.AC}\)
\(\Leftrightarrow AM=\frac{2\cos \frac{A}{2}.AB.AC}{AB+AC}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{AM}=\frac{AB+AC}{2AB.AC\cos \frac{A}{2}}=\frac{1}{2\cos \frac{A}{2}}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})\)
Tương tự: \(\frac{1}{BN}=\frac{1}{2\cos \frac{B}{2}}(\frac{1}{BA}+\frac{1}{BC})\)
\(\frac{1}{CP}=\frac{1}{2\cos \frac{C}{2}}(\frac{1}{CB}+\frac{1}{CA})\)
Cộng theo vế:
\(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{2\cos \frac{A}{2}}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})+\frac{1}{2\cos \frac{B}{2}}(\frac{1}{BA}+\frac{1}{BC})+\frac{1}{2\cos \frac{C}{2}}(\frac{1}{CA}+\frac{1}{CB})\)
\(> \frac{1}{2}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})+\frac{1}{2}(\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC})+\frac{1}{2}(\frac{1}{CB}+\frac{1}{CA})\) (do \(\cos \alpha < 1\) vì cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}> \frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CA}\)
Ta có đpcm.
tìm số tự nhiên n để \(\dfrac{x^2+8}{x+8}\)là số chính phương
\(\dfrac{x^2+8}{x+8}=x-8+\dfrac{72}{x+8}\)
Tìm x sao cho \(\dfrac{72}{x+8}\) nguyên dương trước đi. Biết mẫu của nó \(\ge8\) nhé.
Tìm xong thì chọn trong các giá trị đó thỏa mãn bài toán là xong
Tính
\(\dfrac{3}{x^2+6x+9_{ }}+\dfrac{2}{6x-x-9}+\dfrac{x^2+30x-27}{x^4-18x^2+81}\)
Akai Haruma Nguyễn Huy Tú Nguyễn Huy ThắngHồng Phúc NguyễnPhạm Hoàng Giang......và nhiều bạn nữa giúp mik vs
\(\dfrac{3}{x^2+6x+9}+\dfrac{2}{6x-x^2-9}+\dfrac{x^2+30x-27}{x^4-18x^2+81}\)
\(=\dfrac{3}{\left(x+3\right)^2}+\dfrac{-2}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{x^2+30x-27}{x^4-9x^2-9x^2+81}\)
\(=\dfrac{3}{\left(x+3\right)^2}-\dfrac{2}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{x^2+30x-27}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)^2}\)
\(=\dfrac{3\left(x-3\right)^2}{\left(x+3\right)^2\left(x-3\right)^2}-\dfrac{2\left(x+3\right)^2}{\left(x+3\right)^2\left(x-3\right)^2}+\dfrac{x^2+30x-27}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)^2}\)
\(=\dfrac{3x^2-18x+27-2x^2-12x-18+x^2+30x-27}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)^2}\)
\(=\dfrac{2x^2-18}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)^2}\)
\(=\dfrac{2\left(x^2-9\right)}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)^2}\)
\(=\dfrac{2\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)^2}\)
\(=\dfrac{2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{2}{x^2-9}\)
Giải phương trình :
\(\dfrac{1}{4x-2006}\)+\(\dfrac{1}{5x+2004}\)=\(\dfrac{1}{15x-2007}\)-\(\dfrac{1}{6x-2005}\)
Với mọi số tự nhiên n,dat an=3n2++6n+13
â, chứng minh rằng nếu hai số ai,aj(i,j thuộc N) không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi chia cho 5 thì ai+aj chia hết cho 5