Tứ giác

a: Xét tứ giác ADEF ccó

gócc ADE=góc AFE=góc FAD=90 độ

nên ADEF là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AECK có

Dlà trung điểm chung của AC và EK

EA=EC

Do đó: AECK là hình thoi

c: ΔEMA vuông tại M

mà MO là trung tuyến

nên MO=EA/2=DF/2

Xét ΔMDF có

MO là trung tuyến

MO=DF/2

Do đó: ΔMDF vuông tại M

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

D là trung điểm của BA

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//AC và \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: ED//AC

F\(\in\)ED

Do đó: EF//AC

Ta có: ED//AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: ED\(\perp\)AB

=>EF\(\perp\)AB

Ta có: \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

\(ED=\dfrac{EF}{2}\)

Do đó: AC=EF

Xét tứ giác AEBF có

D là trung điểm chung của AB và EF

=>AEBF là hình bình hành

Hình bình hành AEBF có AB\(\perp\)EF

nên AEBF là hình thoi

b: Xét tứ giác ECAF có

FE//AC

FE=AC

Do đó: ECAF là hình bình hành

c: ta có: ECAF là hình bình hành

=>EA cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của EA

nên M là trung điểm của FC

=>C,M,F thẳng hàng

d: Ta có: \(DF=\dfrac{EF}{2}\)

\(CN=\dfrac{CA}{2}\)

mà EF=CA

nên DF=CN

Xét tứ giác DFNC có

DF//NC

DF=NC

Do đó: DFNC là hình bình hành

=>DN cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của CF

nên M là trung điểm của DN

Xét tứ giác ADEN có

M là trung điểm chung của AE và DN

=>ADEN là hình bình hành

Hình bình hành ADEN có \(\widehat{DAN}=90^0\)

nên ADEN là hình chữ nhật

e: Khi BEAF là hình vuông thì \(\widehat{AEB}=90^0\)

=>AE\(\perp\)EB tại E

=>AE\(\perp\)BC tại E

Xét ΔABC có

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ΔABC vuông cân tại A

=>Điều này đúng

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE là phân giác của góc BAC

Hình chữ nhật ADEN có AE là phân giác của góc DAN

nên ADEN là hình vuông

Gọi K là trung điểm của HD

Xét ΔHDC có

K,M lần lượt là trung điểm của HD,HC

=>KM là đường trung bình của ΔHDC

=>KM//DC và \(KM=\dfrac{DC}{2}\)

KM//DC

AB//DC

Do đó: KM//AB

KM//DC

DC\(\perp\)AD

Do đó: \(MK\perp AD\)

Xét ΔADM có

MK,DHlà đường cao

MK cắt DH tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔADM

=>AK\(\perp\)DM

mà BM\(\perp\)DM

nên AK//BM

Xét tứ giác ABMK có

AB//MK

AK//BM

Do đó: ABMK là hình bình hành

=>MK=AB

=>CD=2AB

a: Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>EF là đường trung bình của ΔABC

b: Xét ΔABC có

E,J lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EJ là đường trung bình của ΔABC

=>EJ//AC và \(EJ=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: EJ//AC

F\(\in\)AC

Do đó: EJ//AF

Ta có: \(EJ=\dfrac{AC}{2}\)

\(AF=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: JE=AF

Xét tứ giác AEJF có

AF//EJ

AF=EJ

Do đó: AEJF là hình bình hành

=>AJ cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>S là trung điểm chung của AJ và EF

Lời giải:
a. $M,E$ là trung điểm $BC, AC$

$\Rightarrow ME$ là đường trung bình của $ABC$ ứng với $AB$

$\Rightarrow ME\parallel AB$

Mà $AB\perp AC$ nên $ME\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{E}=90^0$

Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên là hcn.

b.

Tứ giác $AMKC$ có 2 đường chéo $AC, MK$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $MK\perp AC$ (do $ME\perp AC$) 

$\Rightarrow AMKC$ là hình thoi.

c.

Gọi I là giao $DE, HM$

$DM\perp AB, AB\perp AC\Rightarrow DM\parallel AC$

$\Rightarrow \frac{DB}{AD}=\frac{BM}{MC}=1$ (định lý Talet)

$\Rightarrow DB=AD$ hay $D$ là trung điểm $AB$

$ME$ là đường trung bình ứng với cạnh AB

$\Rightarrow ME\parallel AB$ và $ME=\frac{1}{2}AB$

Mà $E$ là trung điểm của $MK$

$\Rightarrow EK\parallel AB$ và $EK=AB:2$

$\Rightarrow EK\parallel DA$ và $EK=DA$

$\Rightarrow DEKA$ là hbh

$\Rightarrow DE\parallel AK$

Mà $HM\perp AK$ nên $DE\perp HM(*)$

Lại có:

$DE\parallel AK \Rightarrow IE\parallel HK$

$\Rightarrow \frac{MI}{IH}=\frac{ME}{EK}=1$

$\Rightarrow MI=IH(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra $DE\perp HM$ tại trung điểm $I$ của $HM$

$\Rightarrow DE$ là đường trung trực của $HM$

$\Rightarrow DH=DM, EH=EM$

$\Rightarrow \triangle DHE=\triangle DME$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{DHE}=\widehat{DME}=90^0$

$\Rightarrow DH\perp HE$

ΔHAB vuông tại H

mà HD là trung tuyến

nên HD=AD

ΔHAC vuông tại H

mà HE là trung tuyến

nên EA=EH

EA=EH

DA=DH

=>ED là trung trực của AH