Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có M và E lần lượt là trung điểm của
BC và AC, về MD vuông góc với AB tại a) Chứng minh: MẸ // AB và tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Gọi K là điểm đối xứng với M qua E. Tứ giác AMCK là hình gì? Chứng minh. c) Gọi O là giao điểm của AM và DE, H là hình chiếu của M trên AK. CM:HD\perp HE
Lời giải:
a. $M,E$ là trung điểm $BC, AC$
$\Rightarrow ME$ là đường trung bình của $ABC$ ứng với $AB$
$\Rightarrow ME\parallel AB$
Mà $AB\perp AC$ nên $ME\perp AC$
$\Rightarrow \widehat{E}=90^0$
Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên là hcn.
b.
Tứ giác $AMKC$ có 2 đường chéo $AC, MK$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mà $MK\perp AC$ (do $ME\perp AC$)
$\Rightarrow AMKC$ là hình thoi.
c.
Gọi I là giao $DE, HM$
$DM\perp AB, AB\perp AC\Rightarrow DM\parallel AC$
$\Rightarrow \frac{DB}{AD}=\frac{BM}{MC}=1$ (định lý Talet)
$\Rightarrow DB=AD$ hay $D$ là trung điểm $AB$
$ME$ là đường trung bình ứng với cạnh AB
$\Rightarrow ME\parallel AB$ và $ME=\frac{1}{2}AB$
Mà $E$ là trung điểm của $MK$
$\Rightarrow EK\parallel AB$ và $EK=AB:2$
$\Rightarrow EK\parallel DA$ và $EK=DA$
$\Rightarrow DEKA$ là hbh
$\Rightarrow DE\parallel AK$
Mà $HM\perp AK$ nên $DE\perp HM(*)$
Lại có:
$DE\parallel AK \Rightarrow IE\parallel HK$
$\Rightarrow \frac{MI}{IH}=\frac{ME}{EK}=1$
$\Rightarrow MI=IH(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra $DE\perp HM$ tại trung điểm $I$ của $HM$
$\Rightarrow DE$ là đường trung trực của $HM$
$\Rightarrow DH=DM, EH=EM$
$\Rightarrow \triangle DHE=\triangle DME$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{DHE}=\widehat{DME}=90^0$
$\Rightarrow DH\perp HE$
